Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiąż równanie

a) 2 \cos ^2\ 2x=1,

b) \sin^3 x \ +\  \sin x = 0,

c) \sin2x +\ \sin x - \cos x = \frac{1}{2}.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
21.02.2020 13:57

a)

 2\cos^2\ 2x = 1

Dzielimy równanie stronami przez 2 i podstawiamy t=2x, otrzymujemy

cos^2 t = \frac{1}{2}.

Pierwiastkujemy obie strony równania, dostając dwie możliwości

\cos t = \frac{1}{\sqrt[]{2}} \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} \cos t = - \frac{1}{\sqrt[]{2}}.

Usuwamy niewymierność z mianownika.

\cos t = \frac{\sqrt[]{2}}{2} \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} \cos t = - \frac{\sqrt[]{2}}{2}

Z pierwszgo równania, uwzględniając okresowość funkcji cosinus, otrzymujemy

t = \frac{ \pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} t= - \frac{\pi}{4} + 2k\pi,  \hspace{20 pt}\text{  gdzie  } k\in C.

Wracając do niewiadomej x:

2x = \frac{ \pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} 2x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi,  \hspace{20 pt}\text{  gdzie  } k\in C,

x = \frac{ \pi}{8} + k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{7\pi}{8} + k\pi,  \hspace{20 pt}\text{  gdzie  } k\in C.

Drugie równanie przyjmuje postać

-\ \cos t = \frac{\sqrt[]{2}}{2}.

Korzystając ze wzoru redukcyjnego \cos (\pi + \alpha) = - \cos \alpha, dostajemy

\cos (\pi + t) = \frac{\sqrt[]{2}}{2}.

Zatem, mamy dwie możliwości

\pi + t = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} \pi + t = -\frac{\pi}{4} + 2 k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k \in C ,

 t = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt}  t = -\frac{5\pi}{4} + 2 k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k \in C .

Dodajemy 2 \pi, by otrzymać dodatnie wartości

 t = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt}  t = \frac{3\pi}{4} + 2 k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k \in C .

Wracając do niewiadomej x, otrzymujemy

 2x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt}  2x= \frac{3\pi}{4} + 2 k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k \in C ,

 x = \frac{5\pi}{8} + k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt}  x= \frac{3\pi}{8} +  k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k \in C .

Ostatecznie, biorąc pod uwagę dwa równania, zapisujemy wyniki

x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2} \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} x = \frac{3\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}, \hspac{20pt} \text{gdzie  } k\in C.



b) 

\sin^3 x \ +\  \sin x = 0

Wyciągamy przed nawias powtarzający się składnik

\sin x\ (\sin^2 x + 1) = 0.

Mamy dwie możliwości

\sin x = 0 \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} \sin^2 x + 1 = 0.

 Z pierwszej możliwości od razu odczytujemy

x = k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k \in C.

Drugie równanie przekształcamy i otrzymujemy

\sin^2 x = -1,

co jest sprzeczne, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Ostatecznie

x = k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k \in C.



c) 

\sin2x +\ \sin x - \cos x = \frac{1}{2}

Korzystamy z faktu, że dla dowolnego \alpha \in R, zachodzi:

\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha.

I otrzymujemy następujące równanie

2\sin x \cos x+\ \sin x - \cos x = \frac{1}{2},

\cos x  \ (2\sin x - 1) = \frac{1}{2}\ -\ \sin x.

Rozważamy dwa przypadki

1o 2 \sin x - 1\  \neq \ 0,

2o 2 \sin x - 1 = 0.


W przypadku 1o możemy podzielić równanie

\cos x = \frac{\frac{1}{2}\  -\  \sin x}{2\sin x - 1},

\cos x = \frac{1-2\sin x}{2}\cdot\frac{1}{2\sin x - 1},

\cos x = -\frac{1}{2}

Rozwiązujemy analogicznie jak w podpunkcie a)

\cos (\pi + x) = \frac{1}{2}

i mamy dwie możliwości

\pi + x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} \pi + x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \hspace{20 pt} \text{gdzie  } k \in C,

x=\frac{4\pi}{3} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k\in C.


W przypadku 2o równanie jest zawsze prawdziwe, stąd x spełniający równanie

2 \sin x - 1 = 0

też jest rozwiązaniem.

\sin x = \frac{1}{2}

x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k\in C



Ostatecznie, uwzględniając dwa przypadki otrzymujemy rozwiązania

x=\frac{4\pi}{3} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi  \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie  } k\in C.


Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 3 + 1 =
Wszystkie odpowiedzi (0)