Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiąż równanie

a) $2 \cos ^2\ 2x=1$ ,

b) $\sin^3 x \ +\ \sin x = 0$ ,

c) $\sin2x +\ \sin x - \cos x = \frac{1}{2}$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

21.02.2020 13:57

$2\cos^2\ 2x = 1$

Dzielimy równanie stronami przez 2 i podstawiamy t=2x, otrzymujemy

$cos^2 t = \frac{1}{2}$ .

Pierwiastkujemy obie strony równania, dostając dwie możliwości

$\cos t = \frac{1}{\sqrt[]{2}} \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} \cos t = - \frac{1}{\sqrt[]{2}}$ .

Usuwamy niewymierność z mianownika.

$\cos t = \frac{\sqrt[]{2}}{2} \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} \cos t = - \frac{\sqrt[]{2}}{2}$

Z pierwszgo równania, uwzględniając okresowość funkcji cosinus, otrzymujemy

$t = \frac{ \pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} t= - \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \hspace{20 pt}\text{ gdzie } k\in C$ .

Wracając do niewiadomej x:

$2x = \frac{ \pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} 2x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \hspace{20 pt}\text{ gdzie } k\in C$ ,

$x = \frac{ \pi}{8} + k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, \hspace{20 pt}\text{ gdzie } k\in C$ .

Drugie równanie przyjmuje postać

$-\ \cos t = \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ .

Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\cos (\pi + \alpha) = - \cos \alpha$ , dostajemy

$\cos (\pi + t) = \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ .

Zatem, mamy dwie możliwości

$\pi + t = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} \pi + t = -\frac{\pi}{4} + 2 k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k \in C$ ,

$t = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} t = -\frac{5\pi}{4} + 2 k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k \in C$ .

Dodajemy $2 \pi$ , by otrzymać dodatnie wartości

$t = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} t = \frac{3\pi}{4} + 2 k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k \in C$ .

Wracając do niewiadomej x, otrzymujemy

$2x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} 2x= \frac{3\pi}{4} + 2 k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k \in C$ ,

$x = \frac{5\pi}{8} + k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} x= \frac{3\pi}{8} + k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k \in C$ .

Ostatecznie, biorąc pod uwagę dwa równania, zapisujemy wyniki

$x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2} \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} x = \frac{3\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}, \hspac{20pt} \text{gdzie } k\in C$ .

$\sin^3 x \ +\ \sin x = 0$

Wyciągamy przed nawias powtarzający się składnik

$\sin x\ (\sin^2 x + 1) = 0$ .

Mamy dwie możliwości

$\sin x = 0 \hspace{20pt} \vee \hspace{20 pt} \sin^2 x + 1 = 0$ .

Z pierwszej możliwości od razu odczytujemy

$x = k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k \in C$ .

Drugie równanie przekształcamy i otrzymujemy

$\sin^2 x = -1$ ,

co jest sprzeczne, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Ostatecznie

$x = k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k \in C$ .

$\sin2x +\ \sin x - \cos x = \frac{1}{2}$

Korzystamy z faktu, że dla dowolnego $\alpha \in R$ , zachodzi:

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ .

I otrzymujemy następujące równanie

$2\sin x \cos x+\ \sin x - \cos x = \frac{1}{2}$ ,

$\cos x \ (2\sin x - 1) = \frac{1}{2}\ -\ \sin x$ .

Rozważamy dwa przypadki

1^o $2 \sin x - 1\ \neq \ 0$ ,

2^o $2 \sin x - 1 = 0$ .

W przypadku 1^o możemy podzielić równanie

$\cos x = \frac{\frac{1}{2}\ -\ \sin x}{2\sin x - 1}$ ,

$\cos x = \frac{1-2\sin x}{2}\cdot\frac{1}{2\sin x - 1}$ ,

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Rozwiązujemy analogicznie jak w podpunkcie a)

$\cos (\pi + x) = \frac{1}{2}$

i mamy dwie możliwości

$\pi + x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} \pi + x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \hspace{20 pt} \text{gdzie } k \in C$ ,

$x=\frac{4\pi}{3} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k\in C$ .

W przypadku 2^o równanie jest zawsze prawdziwe, stąd x spełniający równanie

$2 \sin x - 1 = 0$

też jest rozwiązaniem.

$\sin x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k\in C$

Ostatecznie, uwzględniając dwa przypadki otrzymujemy rozwiązania

$x=\frac{4\pi}{3} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$ $\hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \hspace{20pt} \vee \hspace{20pt} x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi, \hspace{20pt} \text{gdzie } k\in C$ .

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Odpowiedź eSzkola.pl

Rozwiąż również: