Def.: Mówimy, że funkcja \(f:(a,b) \to R\) jest ciągła w punkcie \(x_0\in(a,b)\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica tej funkcji w tym punkcie i równa jest ona jej wartości w tym punkcie (formalnie: \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\)).
Funkcję \(f:(a,b) \to R\) nazywamy ciągłą, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie \(x_0\in(a,b)\).
Przykładami funkcji ciągłych są wszystkie funkcje wielomianowe (a zatem w szczególności funkcje liniowa i kwadratowa), funkcje wykładnicze i logarytczmine, funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens oraz złożenia wszystkich powyższych funkcji (złożeniem funkcji nazywamy funkcję powstałą z dwóch lub więcej funkcji w wyniku połączenia ich operacjami arytmetycznymi).
Przykład:
Funkcja \(\frac{2x+3}{3x+2}\) jest złożeniem dwóch wielomianów (\(2x + 3\) i \(3x + 2\)), więc jest funkcją ciągłą.
Podobnie funkcja \(x +2\sin x- 3 \ln 2x\) jest funkcją ciągłą bo powstała poprzez składanie innych funkcji ciągłych.
Przykład:
Wykażemy, że funkcja entier nie jest funkcją ciągłą. W tym celu pokażemy, że istnieją punkty, w których funkcja nie ma granicy.
Zauważmy, że granica lewostronna i prawostronna funkcji w punktach ze zbioru liczb całkowitych są różne, zatem funkcja nie posiada w nich granicy, czyli istnieją punkty nieciągłości - więc funkcja nie jest ciągła.
Zadanie:
Zbadać ciągłość funkcji \(f(x) = \begin{cases} 2x \Leftrightarrow \operator {dla} x \le 3 \\ 4x+1 \Leftrightarrow \operator {dla} x > 3 \end{cases} \).
Odpowiedzi:
Funkcja nie jest ciągła.