Def.: Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica tej funkcji w tym punkcie i równa jest ona jej wartości w tym punkcie (formalnie:
).
Funkcję nazywamy ciągłą, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie
.
Przykładami funkcji ciągłych są wszystkie funkcje wielomianowe (a zatem w szczególności funkcje liniowa i kwadratowa), funkcje wykładnicze i logarytczmine, funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens oraz złożenia wszystkich powyższych funkcji (złożeniem funkcji nazywamy funkcję powstałą z dwóch lub więcej funkcji w wyniku połączenia ich operacjami arytmetycznymi).
Przykład:
Funkcja jest złożeniem dwóch wielomianów (
i
), więc jest funkcją ciągłą.
Podobnie funkcja jest funkcją ciągłą bo powstała poprzez składanie innych funkcji ciągłych.
Przykład:
Wykażemy, że funkcja entier nie jest funkcją ciągłą. W tym celu pokażemy, że istnieją punkty, w których funkcja nie ma granicy.
Zauważmy, że granica lewostronna i prawostronna funkcji w punktach ze zbioru liczb całkowitych są różne, zatem funkcja nie posiada w nich granicy, czyli istnieją punkty nieciągłości - więc funkcja nie jest ciągła.
Zadanie:
Zbadać ciągłość funkcji .
Odpowiedzi:
Funkcja nie jest ciągła.