Z funkcjami ciągłymi związane są trzy podstawowe twierdzenia analizy matematycznej, tj. twierdzenie Darboux oraz dwa twierdzenia Weierstrassa o funkcji ciągłej.
Twierdzenie Darboux
Jeśli funkcja \(f\) jest ciągła na przedziale \([a,b]\) oraz \(f(a) \neq f(b)\) to funkcja ta przyjmuje w przedziale \((a,b)\) każdą wartość \(c\) taką, że
jeśli to \(f(a) \le c \le f(b)\) oraz
jeśli to \(f(b) \le c \le f(a)\).
Innymi słowy dla argumentów z przedziału \((a,b)\) wartości funkcji znajdują się pomiędzy \(f(a)\) i \(f(b)\).
Twierdzenie Darboux pociąga za sobą następujący wniosek:
Jeśli \(f\) jest ciągła na \([a,b]\) oraz lub to dla przynajmniej jednego \(c \in(a,b)\) mamy \(f(c) = 0\).
Wniosek ten bywa szczególnie przydatny przy dowodzeniu tzw. twierdzeń egzystencjalnych, tj. takich, w których dowodzimy istnienia czegoś (jakiegoś obiektu) bez wskazywania konkretnego jego przykładu.
Przykład:
Niech \(f(x) = 3x^2+2x-4\).
Zauważmy, że oraz \(f(1) = 3 + 2 - 4 = 1 >0\).
Funkcja kwadratowa jest ciągła w całej swojej dziedzinie, a zatem w szczególności jest ciągła w przedziale \([0,1]\), którego krańce przyjmują wartości odpowiednio powyżej i poniżej zera, zatem funkcja \(f\) ma w tym przedziale miejsce zerowe.
I twierdzenie Weierstrassa:
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym jest ograniczona.
II twierdzenie Weierstrassa:
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje wartość największą oraz najmniejszą.
Oba twierdzenia opisują zachowanie funkcji w przedziałach typu \([a,b]\). Szczególnie istotne w teorii ekstremów funkcji jest drugie twierdzenie, które często bywa stosowane w dowodach pewnych innych twierdzeń.