Zbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych oraz niewymiernych - i w tym właśnie zbiorze „poruszamy się” na co dzień, określając ilość obiektów danego rodzaju (jabłek, gruszek, samochodów, osób w kolejce, itd.), długość i wysokość, a także inne abstrakcyjne miary, na przykład wartość pieniądza czy cenę.
Zbiór liczb rzeczywistych jest zatem najpełniejszym uniwersum liczbowym, jakie będzie miał kiedykolwiek potrzebę wyobrazić sobie przeciętny obywatel niezajmujący się matematyką wyższą.
Zbiór liczb rzeczywistych - oznaczenie i wyjaśnienie
Do oznaczenia zbioru liczb rzeczywistych używamy symbolu \(\mathbb{R}\).
Formalnie: \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\mathbb{Q}\) - zbiór liczb rzeczywistych jest sumą mnogościową zbioru liczb wymiernych i liczb niewymiernych.
Liczbami rzeczywistymi są wszystkie liczby, jakich używamy na codzień.
Liczby rzeczywiste - przykłady
Przykład 1
1, 2, 3 - liczby naturalne są liczbami rzeczywistymi.
-1, -2, -3 - liczby ujemne są liczbami rzeczywistymi.
\( \frac{1}{2} \) , \( \frac{2}{3} \), \( \frac{3}{4} \) - ułamki zwykłe także są liczbami rzeczywistymi.
\(0,6\), \(0,666...\), \(0,123456...\) - ułamki dziesiętne, zarówno te o skończonym jak i o nieskończonym (okresowym lub nieokresowym) rozwinięciu dziesiętnym również są liczbami rzeczywistymi.
\( \pi \), \(e\), \( \phi \) - liczby niewymierne też są liczbami rzeczywistymi.
Jakie zatem liczby nie są liczbami rzeczywistymi?
Przykład 2
\(1 + 2i\) - liczby zespolone (tj. liczby rzeczywiste zawierające tzw. „część urojoną”) nie są liczbami rzeczywistymi - ale kontakt z tymi liczbami mają jedynie osoby zajmujące się w pracy zawodowej matematyką wyższą, np. inżynierowie czy fizycy. Przeciętny człowiek raczej nie spotka się z nimi w normalnym życiu.
Działaniami dozwolonymi na liczbach rzeczywistych są wszystkie podstawowe działania arytmetyczne, tj. dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie (oprócz dzielenia przez 0), potęgowanie i pierwiastkowanie (o ile wykładnik potęgi i stopień pierwiastka są odpowiednie). Liczby rzeczywiste można także porównywać.
Zbiór liczb rzeczywistych jest „wszędzie gęsty” (jest to fachowe określenie z matematycznego żargonu), tj. liczby rzeczywiste uszeregowane na osi liczbowej zapełniają całą oś.
Liczby rzeczywiste - zadanie
Które z podanych liczb są liczbami rzeczywistymi?
a) 159,6,
b) \(300i + 200\),
c) \(89 \pi -2e\),
d) \( \sqrt{2i} \).
Odpowiedź:
a) tak,
b) nie (jest to liczba zespolona),
c) tak,
d) nie (również jest to liczba zespolona).