Liczby niewymierne – przykłady, definicja, zadania

Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem tych liczb, które nie są wymierne, zatem nie można przedstawić ich w postaci ułamka prostego.

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem \mathbb{I}\mathbb{Q}

 

Przykład:

 \sqrt{2} ,  \sqrt{3}  \pi e - to są przykłady liczb niewymiernych. Żadnej z tych liczb nie można przedstawić w postaci ułamka prostego, którego licznik i mianownik byłyby liczbami całkowitymi.

Liczby niewymierne, podobnie jak wymierne, dają się porównywać (zatem można określić większą oraz mniejszą z dwóch nierównych sobie liczb niewymiernych).

Z odkryciem liczb wymiernych wiąże się pewna anegdota, z czasów bractwa pitagorejskiego. Członkowie tego grona wierzyli, że wszystko jest liczbą, tj. każdy obiekt, każdą ideę i każdą myśl daje się wyrazić przy pomocy liczb - my dzisiaj powiedzielibyśmy, że wedle ich poglądów wszystko było mierzalne. Przez jakiś czas przekazywali oni swoje poglądy dalej bez niepokojów, aż w końcu Hipasus z Metapontum, należący do bractwa, wykazał, że długość przekątnej kwadratu o boku długości jeden, wynosi pierwiastek z dwóch - a wielkość ta nie jest liczbą wymierną, bowiem nie daje się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Za to odkrycie został on przez współbraci skazany na śmierć - tak wielka i fanatyczna była wiara owego tajemnego stowarzyszenia, w świętość idei, które wyznawali.

 

Szczególne liczby niewymierne

Jedną z ważniejszych liczb niewymiernych jest liczba oznaczana grecką literą pi -  \pi . Określa ona stosunek obwodu koła do jego średnicy. Magia tej liczby tkwi w tym, że jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, a zatem nie można podać żadnego wzorca odnośnie tego, w jaki sposób ułożone są kolejne cyfry tej liczby. Kolejnymi dwoma szczególnymi liczbami niewymiernymi są liczba fi -  \phi - ustalająca tzw. złoty podział odcinka, oraz liczba Eulera, ozn. e - pojawiająca się w wielu zagadnieniach związanych ze wzrostem, np. w przypadku rozwoju populacji, kapitalizacji odsetek, itd.

Poniżej przedstawione są początkowe cyfry rozwinięć dziesiętnych tych trzech szczególnych liczb niewymiernych:

 \pi  \approx  3,14159265358979323846...

 \phi  \approx  1,61803398874989484820...

e \approx  2,71828182845904523536...

 

Zadanie:

Które z podanych liczb są liczbami niewymiernymi?

a)  \frac{2 \pi }{ \pi } ,

b)  \frac{3}{ \sqrt{2} } ,

c)  \sqrt[3]{27} ,

d) 8.

 

Odpowiedzi:

a) nie,

b) tak,

c) nie,

d) nie. 

Polecamy również:

Komentarze (5)
Wynik działania 4 + 4 =
white 2115
2019-12-31 16:18:59
sam żeś xd
nnnn
2019-12-31 16:17:44
xd
wiki
2017-01-31 15:50:17
prosze
wiki
2017-01-31 15:49:53
pomocy
wiki
2017-01-31 15:49:18
pomocy musze napisać 50 przykładów liczb niewymiernych
Ostatnio komentowane
"Mianem libertarianizmu zwykło się nazywać najbardziej radykalny nurt liberalizmu." No...
• 2024-03-01 10:11:23
kys(keepurselfsafe)
• 2024-02-28 14:36:21
Super i MEGA pomocne!
• 2024-02-28 10:18:34
joł joł jowisz najwiekszy olbrzym gazowy 5 od słonca na pewno nie przeoczysz choć mooj...
• 2024-02-27 14:59:44
Ok
• 2024-02-27 09:29:45