Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem tych liczb, które nie są wymierne, zatem nie można przedstawić ich w postaci ułamka prostego.
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem \(\mathbb{I}\mathbb{Q}\)
Przykład:
\( \sqrt{2} \), \( \sqrt{3} \), \( \pi \), \(e\) - to są przykłady liczb niewymiernych. Żadnej z tych liczb nie można przedstawić w postaci ułamka prostego, którego licznik i mianownik byłyby liczbami całkowitymi.
Liczby niewymierne, podobnie jak wymierne, dają się porównywać (zatem można określić większą oraz mniejszą z dwóch nierównych sobie liczb niewymiernych).
Z odkryciem liczb wymiernych wiąże się pewna anegdota, z czasów bractwa pitagorejskiego. Członkowie tego grona wierzyli, że wszystko jest liczbą, tj. każdy obiekt, każdą ideę i każdą myśl daje się wyrazić przy pomocy liczb - my dzisiaj powiedzielibyśmy, że wedle ich poglądów wszystko było mierzalne. Przez jakiś czas przekazywali oni swoje poglądy dalej bez niepokojów, aż w końcu Hipasus z Metapontum, należący do bractwa, wykazał, że długość przekątnej kwadratu o boku długości jeden, wynosi pierwiastek z dwóch - a wielkość ta nie jest liczbą wymierną, bowiem nie daje się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Za to odkrycie został on przez współbraci skazany na śmierć - tak wielka i fanatyczna była wiara owego tajemnego stowarzyszenia, w świętość idei, które wyznawali.
Szczególne liczby niewymierne
Jedną z ważniejszych liczb niewymiernych jest liczba oznaczana grecką literą pi - \( \pi \). Określa ona stosunek obwodu koła do jego średnicy. Magia tej liczby tkwi w tym, że jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, a zatem nie można podać żadnego wzorca odnośnie tego, w jaki sposób ułożone są kolejne cyfry tej liczby. Kolejnymi dwoma szczególnymi liczbami niewymiernymi są liczba fi - \( \phi \) - ustalająca tzw. złoty podział odcinka, oraz liczba Eulera, ozn. \(e\) - pojawiająca się w wielu zagadnieniach związanych ze wzrostem, np. w przypadku rozwoju populacji, kapitalizacji odsetek, itd.
Poniżej przedstawione są początkowe cyfry rozwinięć dziesiętnych tych trzech szczególnych liczb niewymiernych:
\( \pi \approx 3,14159265358979323846...\)
\( \phi \approx 1,61803398874989484820...\)
\(e \approx 2,71828182845904523536... \)
Zadanie:
Które z podanych liczb są liczbami niewymiernymi?
a) \( \frac{2 \pi }{ \pi } \),
b) \( \frac{3}{ \sqrt{2} } \),
c) \( \sqrt[3]{27} \),
d) 8.
Odpowiedzi:
a) nie,
b) tak,
c) nie,
d) nie.