Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem tych liczb, które nie są wymierne, zatem nie można przedstawić ich w postaci ułamka prostego.
Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem
Przykład:
,
,
,
- to są przykłady liczb niewymiernych. Żadnej z tych liczb nie można przedstawić w postaci ułamka prostego, którego licznik i mianownik byłyby liczbami całkowitymi.
Liczby niewymierne, podobnie jak wymierne, dają się porównywać (zatem można określić większą oraz mniejszą z dwóch nierównych sobie liczb niewymiernych).
Z odkryciem liczb wymiernych wiąże się pewna anegdota, z czasów bractwa pitagorejskiego. Członkowie tego grona wierzyli, że wszystko jest liczbą, tj. każdy obiekt, każdą ideę i każdą myśl daje się wyrazić przy pomocy liczb - my dzisiaj powiedzielibyśmy, że wedle ich poglądów wszystko było mierzalne. Przez jakiś czas przekazywali oni swoje poglądy dalej bez niepokojów, aż w końcu Hipasus z Metapontum, należący do bractwa, wykazał, że długość przekątnej kwadratu o boku długości jeden, wynosi pierwiastek z dwóch - a wielkość ta nie jest liczbą wymierną, bowiem nie daje się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Za to odkrycie został on przez współbraci skazany na śmierć - tak wielka i fanatyczna była wiara owego tajemnego stowarzyszenia, w świętość idei, które wyznawali.
Szczególne liczby niewymierne
Jedną z ważniejszych liczb niewymiernych jest liczba oznaczana grecką literą pi - . Określa ona stosunek obwodu koła do jego średnicy. Magia tej liczby tkwi w tym, że jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, a zatem nie można podać żadnego wzorca odnośnie tego, w jaki sposób ułożone są kolejne cyfry tej liczby. Kolejnymi dwoma szczególnymi liczbami niewymiernymi są liczba fi -
- ustalająca tzw. złoty podział odcinka, oraz liczba Eulera, ozn.
- pojawiająca się w wielu zagadnieniach związanych ze wzrostem, np. w przypadku rozwoju populacji, kapitalizacji odsetek, itd.
Poniżej przedstawione są początkowe cyfry rozwinięć dziesiętnych tych trzech szczególnych liczb niewymiernych:
Zadanie:
Które z podanych liczb są liczbami niewymiernymi?
a) ,
b) ,
c) ,
d) 8.
Odpowiedzi:
a) nie,
b) tak,
c) nie,
d) nie.