Liczba e zwana też liczbą Eulera oraz liczbą Napiera (Nepera) jest obok liczby \( \pi \) jedną z najważniejszych stałych matematycznych.
Znamy ją przede wszystkim jako podstawę logarytmu naturalnego. Występuje tam, gdzie mamy do czynienia ze wzrostem (np. w finansach, dynamice populacji czy zagadnieniach fizycznych). Podnie jak \( \pi \) jest to liczba niewymierna o rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym nieokresowym - jej wszystkich cyfr po przecinku nie poznamy nigdy.
Jej wartość w przybliżeniu (do 20-tu miejsc po przecinku) to 2,718 281 828 459 045 235 36.
Definicja
Liczbę Eulera definiuje się najczęściej jako granicę ciągu
\(e= \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{1}{n} ) ^{n} \)
Własności liczby e
- niewymierna - nie może być przedstawiona w postaci ułamka zwykłego w którym jako licznik i mianownik występują liczby całkowite (dowód tego faktu podał Euler w 1737 roku).
- przestępna - nie jest pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego, tj. nie może być rozwiązaniem równania o współczynnikach wymiernych (dowód przeprowadził Hermit w 1873 roku - metoda zastosowana przez Hermina została potem wykorzystana przez Lindemanna przy dowodzeniu przestępności liczby \( \pi \)).
Liczba e jako suma szeregu
Podobnie jak liczbę \( \pi \) liczbę Eulera możemy przedstawić także przy pomocy szeregu - w tym przypadku jest to szereg odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych.
\(e = 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + ...\)
Liczba e w finansach
Liczba Eulera ma istotne znaczenie w finansach.
Załóżmy, że dysponujemy pewną kwotą K. Wpłacamy ją na rachunek oprocentowany p. Jaką kwotę będziemy mieć na tym rachunku po roku?
To zależy od tego jak często będzie odbywała się kapitalizacja.
Gdyby przyjąć, że naliczenie odsetek na rachunku bankowym odbywa się w sposób ciągły stan naszego konta po roku będzie wynosił \(K \cdot e\).