Macierz osobliwa to taka, której wyznacznik jest równy zero.
Pojęcie to ma rzecz jasna zastosowanie tylko w odniesieniu do macierzy kwadratowych - tylko dla takich macierzy określone zostały wyznaczniki.
Przykład:
Niech dana będzie macierz \(\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -7 & -2 \\ 2 & 4 & 2 \end{array} \right]\).
Wówczas \(\det \mathbf{A} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -7 & -2 \\ 2 & 4 & 2 \end{array} \right| = 0\), zatem \(\mathbf{A}\) jest macierzą osobliwą.
Przykład:
Niech dana będzie macierz \(\mathbf{B} = \left[ \begin{array}{ccc} - \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{3} \\ -2 & 0 & 2 \end{array} \right]\).
Wtedy \(\det\mathbf{B} = \left| \begin{array}{ccc} - \frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{3} \\ -2 & 0 & 2 \end{array} \right| = 0\), więc \(\mathbf{B}\) jest osobliwa.
Przykład:
Niech dana będzie macierz \(\mathbf{C} = \left[ \begin{array}{ccc} 10 & 0 & 7 \\ - 2 & 2 & 32 \\ -2 & 2 & 32 \end{array} \right]\).
Wtedy \(\det \mathbf{C} = \left| \begin{array}{ccc} 10 & 0 & 7 \\ - 2 & 2 & 32 \\ -2 & 2 & 32 \end{array} \right| = 0\), więc \(\mathbf{C}\) również jest macierzą osobliwą.
Przykład:
\(\mathbf{D} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right]\) - macierz \(\mathbf{D}\) nie jest macierzą kwadratową, a zatem nie jest osobliwa.
\(\mathbf{E} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right]\), zatem \(\det \mathbf{E} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array} \right| = 1\) - wyznacznik macierzy nie jest zerowy, więc nie jest to macierz osobliwa.
Można podać ogólne warunki, kiedy macierz jest osobliwa. Dzieje się tak wtedy, gdy:
1) Dwa wiersze lub dwie kolumny w macierzy są identyczne.
2) Dwa wiersze lub dwie kolumny w macierzy są proporcjonalne.
3) Wiersz lub kolumna macierzy składa się z zer.
Macierze osobliwe są nieodwracalne - nie istnieje macierz odwrotna do macierzy osobliwej.