Jednym z najpraktyczniejszych zastosowań ciągów jest procent składany.
Jeśli składamy pieniądze w banku, na \(n\) lat, przy oprocentowaniu \(r\) w skali rocznej, wówczas kapitał po \(n\) latach wynosić będzie \(K_n=K(1+rn)\), gdzie \(K\) ozn. kapitał początkowy.
To znaczy, że jeśli wpłacilibyśmy \(100\) tys. zł na \(5\) lat przy oprocentowaniu \(3%\) w skali roku to z banku będziemy mogli odebrać kwotę \(K_5 = 100.000\cdot(1+0,03\cdot5)=115.000\), zatem zyskalibyśmy \(15\) tysięcy.
To dużo, biorąc pod uwagę fakt, że by zdobyć te pieniądze nie zrobiliśmy właściwie nic pozwa odmówieniem sobie (na okres \(5\)-ciu lat) korzystania z naszych stu tysięcy. Czy jednak jest to maksymalna kwota jaką mogliśmy zarobić?
Zwróćmy uwagę na fakt, że w ciągu tych pięciu lat odsetki były naliczane wyłącznie od kapitału początkowego. A co gdyby odsetki były naliczane także od odsetek, a następnie kolejne odsetki, od odsetek od odsetek, itd.?
Sytuacja, o której tutaj mówimy nazywana jest procentem składanym.
Jeśli złożymy kapitał w wysokości \(K\) na okres \(n\) lat przy oprocentowaniu rocznym \(r\), wówczas będziemy mogli z banku wypłacić kwotę w wysokości \(K_n = K\cdot(1+r)^n\).
Zatem jeśli wpłacimy do banku \(100\) tys. zł przy takim samym jak wcześniej oprocentowaniu, ale na procent składany, to po pięciu latach wyciągniemy z naszego rachunku kwotę równą \(K_5 = 100.000\cdot(1+0,05)^5 = 127.628,16\) (z dokładnością do groszy), a więc aż o ponad \(12\) tysięcy więcej niż poprzednio.
Pondato, jeśli kapitalizacja (tzn. naliczanie odsetek) następuje kilka razy w ciągu roku (np. \(m\)), to wówczas kapitał po \(n\) latach przy oprocentowaniu \(r\) wynosić będzie \(K_n = K\cdot(1+\frac rm)^{nm}\).
Magia procentu składanego urzekła już niejednego inwestora i przedsiębiorcę, ale grono jego zwolenników nie ograniczało się tylko do przedstawicieli świata finansów - Albert Einstein powiedział na przykład, że procent składany jest największym wynalazkiem ludzkości.