W przypadku wykonywania działań na liczbach niezwykle istotna jest kolejność ich przeprowadzania. Zmiana kolejności wykonywania działań potrafi wpłynąć na wynik.
Zwykło się przyjmować, iż następujące działania mają pierwszeństwo (w podanej kolejności):
1) działania znajdujące się w nawiasach,
2) potęgowanie i pierwiastkowanie,
3) mnożenie i dzielenie,
4) dodawanie i odejmowanie.
Co oznacza, że kiedy mamy dodać do siebie dwie potęgi, najpierw podnosimy określone liczby do potęgi, dopiero następnie je dodajemy. Podobnie dla pozostałych działań: kiedy mamy wyrażenie zawierające zarówno odejmowanie jak i dzielenie, pierwszeństwo ma bezapelacyjnie iloraz - różnica jest względem niego drugorzędna.
Przykład:
15 + 3 x 4 = 15 + 12 = 27, nie natomiast 18 x 4 - ponieważ mnożenie ma prymat względem dodawania (wykonujemy je najpierw).
122 : 2 + 13 x 5 = 61 + 65 = 126 - najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie, dopiero potem ich wyniki dodajemy.
Czy najpierw należy wykonać mnożenie czy dzielenie? Najpierw wykonujemy to działanie, które występuje pierwsze.
Przykład:
240 : 2 x 3 = (240 : 2) x 3 = 120 x 3 = 360 - nastomiast w przypadku, gdybyśmy najpierw wykonali mnożenie, mielibyśmy wówczas 240 : (2 x 3) = 240 : 6 = 40. Poprawne jest jedynie pierwsze rozumowanie.
Odmiennie sytuacja prezentuje się w przypadku dodawania i odejmowania oraz pierwiastkowania i potęgowania - bo choć pierwszeństwo ma to działanie, które występuje w zapisie jako pierwsze, zastosowanie odpowiednich nawiasów porządkuje sytuację.
Przykład:
56 + 41 - 27 = (56 + 41) - 27 = 97 - 27 = 70, ale również:
56 + 41 - 27 = 56 + (41 - 27) = 56 + 14 = 70 - zatem wynik jest taki sam.
Do porządkowania działań, jak zostało wspomiane, służą nawiasy. To samo działanie, jeśli dopisane zostaną do niego nawiasy, może dać finalnie zupełnie inny wynik:
Przykład:
, ale
, ponieważ
oraz
Widać zatem, że dodanie nawiasów potrafi diametralnie zmienić wielkość wyrażenia.
Zadania:
Policzyć:
a) 18 + 27 x 4,
b) 159 : 3 - 12 x 6 + 32 : 4
c) .
Odpowiedzi:
a) 126,
b) -11,
c) 1088.
