Pierwiastkowanie

Działaniem odwrotnym do potęgowania jest wyciąganie pierwiastków.

Pierwiastek stopnia  {a}  z liczby {b} oznaczany jest symbolem  \sqrt[a]{b}  pierwiastkowanie. Gdy pierwiastek jest stopnia 2, mówimy, że jest pierwiastkiem kwadratowym, a stopień w zapisie pomijamy. Gdy stopień wynosi trzy - pierwiastek nazywamy sześciennym.

Intuicyjnie pierwiastek jako działanie można rozumieć jako odpowiedź na następujące pytanie: jaką liczbę muszę podnieść do potęgi stopnia pierwiastka, by otrzymać liczbę pod pierwiastkiem?

Przykład:

 \sqrt[2]{4} =  \sqrt{4} = 2 pierwiastkowanie - jaka liczba podniesiona do potęgi 2 daje 4? - odpowiedź brzmi 2.

 \sqrt[3]{8} = 2 pierwiastkowanie - pierwiastek stopnia trzeciego z 8 to 2, ponieważ 2 podniesione do trzeciej potęgi daje 8.

 \sqrt{9} = 3 pierwiastkowanie ponieważ 3 \cdot 3 = 9 pierwiastkowanie.

Niewymierność pierwiastków - pierwiastek z 3, z 2, z 5

Pierwiastkami z liczb pierwszych są liczby niewymierne

\sqrt{3} pierwiastek z 3 = 1.73205080757 Pierwiastek z 3 jest nazywany również stałą Teodora

\sqrt 2 pierwiastek z 2= 1.41421356237 Pierwiastek z 2 jest długością przekątnej kwadratu o boku 1 - wynika to z twierdzenia Pitagorasa

{\displaystyle {\sqrt {5}}} pierwiastek z 52.2360679775 Pierwiastek z 5 został wyznaczony z dokładnością do miliona miejsc po przecinku.

Działania na pierwiastkach

Podobnie jak w przypadku potęg, z pierwiastkami wiążą się pewne dozwolone do wykonywania na nich operacje.

Przykład:

 \sqrt{18}  \cdot  \sqrt{2} =  \sqrt{18 \cdot 2} =  \sqrt{36} = 6 pierwiastek razy pierwiastek - iloczyn pierwiastków możemy zamienić na pierwiastek iloczynu.  

 \frac{ \sqrt{8} }{ \sqrt{2} } =  \sqrt{ \frac{8}{2} } =  \sqrt{4} = 2 dzielenie pierwiastków - ułamek złożony z dwóch pierwiastków możemy zamienić na pierwiastek z ułamka.

 

Mnożenie pierwiastków z tej samej liczby

Iloczyn dwóch pierwiastków kwadratowych z tej samej liczby równy jest tej liczbie.

Przykład

 \sqrt{2}  \cdot  \sqrt{2} = 2 pierwiastek razy pierwiastek - iloczyn dwóch pierwiastków kwadratowych z 2 wynosi 2, ponieważ - na mocy podanego powyżej prawa - iloczyn pierwiastków można zamienić na pierwiastek iloczynu - w tym przypadku otrzymalibyśmy pierwiastek z 4 - który jest równy 2.

Taka sama zależność działa także dla pierwiastków wyższych stopni, istotne jest jedynie, by liczba mnożonych pierwiastków danego stopnia była równa temu stopniowi, tj. gdy pierwiastek jest kwadratowy - mnożony jest dwukrotnie, gdy pierwiastek jest sześcienny - trzykrotnie, gdy jest to pierwiastek stopnia czwartego - cztery razy, itd.

Przykład:

 \sqrt[5]{4}  \cdot  \sqrt[5]{4}  \cdot  \sqrt[5]{4}  \cdot  \sqrt[5]{4}  \cdot  \sqrt[5]{4}  = 4 pierwiastek razy pierwiastek

Powyższe prawo ma związek z tym, że pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania, tj. zachodzi ( \sqrt[n]{x})  ^{n} = x pierwiastek razy pierwiastek dla wszystkich liczb naturalnych.

 

Zadania z pierwiastkowania

Policz: 

a)  \sqrt{4}  \cdot  \sqrt{25}  \cdot  \sqrt{16} ,

b)  \sqrt[3]{ \frac{27}{8} } ,

c)  \sqrt[30]{2^{30} \cdot 3^{30}} .

 

Odpowiedzi:

a) 40,

b)  \frac{3}{2} ,

c) 6.

Polecamy również:

  • Dodawanie

    Jednym z podstawowych działań arytmetycznych jest dodawanie. Jest to przeważnie pierwsze działanie matematyczne, jakiego człowiek uczy się w życiu. W najbardziej elementarnym ujęciu dodawanie jest działaniem dwuargumentowym. Więcej »

  • Odejmowanie

    Odejmowanie jest drugim po dodawaniu podstawowym działaniem arytmetycznym. Jeśli myślimy o odejmowaniu jako o działaniu dwuargumentowym to składa się ono z następujących elementów: odjemna - liczba, od której będziemy odejmować, odjemnik - odejmowany od... Więcej »

  • Mnożenie, mnożenie pisemne

    Mnożenie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy nazywamy czynnikami, zaś wynik mnożenia iloczynem. Do oznaczenia tego działania używamy znaku kropki lub zamiennie znaku „x”. Więcej »

  • Dzielenie

    Dzielenie jest ostatnim z czterech podstawowych działań arytmetycznych, przeważnie poznawane jest jako ostatnie. Dzielenie jest działaniem dwuargumentowym, pierwszy argument nazywamy dzielną, drugi - dzielnikiem, zaś wynik dzielenia to iloraz. Nazwy te są bardzo intuicyjne... Więcej »

  • Działania na potęgach

    Potęgowanie jest działaniem będącym uogólnieniem mnożenia. Podobnie jak mnożenie można było rozpatrywać jako kilkakrotne wykonanie dodawania tej samej liczby do siebie samej, podobnie też potęgę danej liczby można postrzegać jako wielokrotne pomnożenie danej liczby przez nią samą. Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 4 =
Ostatnio komentowane
zero
• 2022-12-03 22:06:32
o
• 2022-12-03 10:47:16
ok
• 2022-12-02 16:29:38
dzięki
• 2022-11-28 16:21:19
ok
• 2022-11-25 15:27:39