Działaniem odwrotnym do potęgowania jest wyciąganie pierwiastków.
Pierwiastek stopnia \( {a} \) z liczby \({b}\) oznaczany jest symbolem \( \sqrt[a]{b} pierwiastkowanie\). Gdy pierwiastek jest stopnia 2, mówimy, że jest pierwiastkiem kwadratowym, a stopień w zapisie pomijamy. Gdy stopień wynosi trzy - pierwiastek nazywamy sześciennym.
Intuicyjnie pierwiastek jako działanie można rozumieć jako odpowiedź na następujące pytanie: jaką liczbę muszę podnieść do potęgi stopnia pierwiastka, by otrzymać liczbę pod pierwiastkiem?
Przykład:
\( \sqrt[2]{4} = \sqrt{4} = 2 pierwiastkowanie\) - jaka liczba podniesiona do potęgi 2 daje 4? - odpowiedź brzmi 2.
\( \sqrt[3]{8} = 2 pierwiastkowanie\) - pierwiastek stopnia trzeciego z 8 to 2, ponieważ 2 podniesione do trzeciej potęgi daje 8.
\( \sqrt{9} = 3 pierwiastkowanie\) ponieważ \(3 \cdot 3 = 9 pierwiastkowanie\).
Niewymierność pierwiastków - pierwiastek z 3, z 2, z 5
Pierwiastkami z liczb pierwszych są liczby niewymierne
Działania na pierwiastkach
Podobnie jak w przypadku potęg, z pierwiastkami wiążą się pewne dozwolone do wykonywania na nich operacje.
Przykład:
\( \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6 pierwiastek razy pierwiastek\) - iloczyn pierwiastków możemy zamienić na pierwiastek iloczynu.
\( \frac{ \sqrt{8} }{ \sqrt{2} } = \sqrt{ \frac{8}{2} } = \sqrt{4} = 2 dzielenie pierwiastków\) - ułamek złożony z dwóch pierwiastków możemy zamienić na pierwiastek z ułamka.
Mnożenie pierwiastków z tej samej liczby
Iloczyn dwóch pierwiastków kwadratowych z tej samej liczby równy jest tej liczbie.
Przykład:
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 pierwiastek razy pierwiastek\) - iloczyn dwóch pierwiastków kwadratowych z 2 wynosi 2, ponieważ - na mocy podanego powyżej prawa - iloczyn pierwiastków można zamienić na pierwiastek iloczynu - w tym przypadku otrzymalibyśmy pierwiastek z 4 - który jest równy 2.
Taka sama zależność działa także dla pierwiastków wyższych stopni, istotne jest jedynie, by liczba mnożonych pierwiastków danego stopnia była równa temu stopniowi, tj. gdy pierwiastek jest kwadratowy - mnożony jest dwukrotnie, gdy pierwiastek jest sześcienny - trzykrotnie, gdy jest to pierwiastek stopnia czwartego - cztery razy, itd.
Przykład:
\( \sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{4} = 4 pierwiastek razy pierwiastek\)
Powyższe prawo ma związek z tym, że pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania, tj. zachodzi \(( \sqrt[n]{x}) ^{n} = x pierwiastek razy pierwiastek\) dla wszystkich liczb naturalnych.
Zadania z pierwiastkowania
Policz:
a) \( \sqrt{4} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \),
b) \( \sqrt[3]{ \frac{27}{8} } \),
c) \( \sqrt[30]{2^{30} \cdot 3^{30}} \).
Odpowiedzi:
a) 40,
b) \( \frac{3}{2} \),
c) 6.