Ograniczoność ciągu – definicja, przykłady, zadania

Ograniczoność ciągu jest drugą (obok monotoniczności) podstawową własnością ciągu.

 

Definicja:

Ciąg \((a_n)\) nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba \(M\), że każdy wyraz ciągu jest od niej mniejszy (formalnie: \(\exist M\forall n \in \mathbb{N} (a_n \le M)\).

Ciąg \((a_n)\) nazywamy ograniczonym z dółu, jeśli istnieje taka liczba \(m\), że każdy wyraz ciągu jest od niej większy (formalnie: \(\exist m\forall n \in \mathbb{N} (a_n \ge m)\).

Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu.

Ciąg nazywamy nieograniczonym, jeśli nie jest ograniczony.

 

Przykład:

Każdy ciąg stały jest ograniczony (bo jest ograniczony zarówno z dołu - przez liczby mniejsze lub równe od jego wyrazów, jak i z góry - przez liczby większe lub równe jego wyrazom).

\((1,-1,1,-1,...)\) - ciąg ograniczony z góry przez \(1\), z dołu przez \(-1\).

\((1,-1,2,-2,3,-3,...)\) - ciąg nieograniczony.

 

Czasem, by określić ograniczoność ciągu, można posłużyć się badaniem jego monotoniczności.

 

Przykład:

\(b_n = \frac{2n}{3n^2}\)

\(b_{n+1} - b_n = \frac{2(n+1)}{3(n+1)^2} - \frac{2n}{3n^2} = \frac{2n+2}{3n^2+6n+3} - \frac{2}{3n} = \frac{(2n+2)3n-2(3n^2+6n+3)}{(3n^2+6n+3)3n} \)\(= \frac{6n^2+6n-6n^2-12n-6}{(3n^2+6n+3)3n} = \frac{-6n-6}{(3n^2+6n+3)3n} = -\frac{6n+6}{(3n^2+6n+3)3n}<0\) 

Ponieważ ciąg \((b_n)\) jest malejący, jego górnym ograniczeniem będzie każda liczba większa od jego pierwszego wyrazu.

Policzmy

\(b_1 = \frac 2 3\) - jest to ograniczenie górne ciągu.

Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc ograniczeniem dolnym będzie każda liczba ujemna oraz zero.

 

Zadania:

Podać ograniczenie górne i dolne ciągu, o ile jest on ograniczony (z góry lub z dołu).

a) \((1,2,3,4,...)\),

b) \((-2,-4,-6,-8,-2,-4,...)\),

c) \(a_n = \frac{2}{n+2}\).

 

Odpowiedzi:

a) ciąg ograniczony z dołu przez \(1\), z góry ciąg nie jest ograniczony,

b) ciąg ograniczony z góry przez \(-2\), z dołu przez \(-8\),

c) ciąg ograniczony z góry przez \(\frac 2 3\), z dołu np. przez \(-1\).

Polecamy również:

Komentarze (4)
Wynik działania 3 + 3 =
ola
2018-11-29 15:56:56
(-n)^n ____czy skoro przy parzystych jest ograniczony z dołu a przy n nie parzystych jest ograniczony z góry ale w sumie on jest ciagiem nie ograniczonym ???
asd
2017-12-02 18:05:21
Niektórzy nie rozumieją jak widać czym jest ograniczoność ciągu. Ciąg może być 1,2,3,4,5,.. nie jest ograniczony tylko przez 1, ale też przez każdą mniejszą od 1
takijeden
2016-12-05 20:04:47
Tak, według mnie najdokładniejszym ograniczeniem (kresem dolnym) jest 0.
Konradpros
2016-10-06 08:10:23
"ciąg ograniczony z góry przez 2/3, z dołu np. przez -1." Co to znaczy, że jest ograniczony "np.-1". Powinna byc konkretna odpowiedz!
Ostatnio komentowane
na czym polegają te fundacje i stowarzyszenia? brakuje tu wyjaśnienia i jakiegoś przyk�...
• 2024-11-05 17:38:04
Głupota w tekście! Janusz i Agnieszka się nie związali, bo byli bardzo bliskim kuzynos...
• 2024-10-27 17:40:49
Super
• 2024-10-21 17:09:20
Bardzo trudne.
• 2024-10-21 13:31:17
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03