Ograniczoność ciągu jest drugą (obok monotoniczności) podstawową własnością ciągu.
Definicja:
Ciąg \((a_n)\) nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba \(M\), że każdy wyraz ciągu jest od niej mniejszy (formalnie: \(\exist M\forall n \in \mathbb{N} (a_n \le M)\).
Ciąg \((a_n)\) nazywamy ograniczonym z dółu, jeśli istnieje taka liczba \(m\), że każdy wyraz ciągu jest od niej większy (formalnie: \(\exist m\forall n \in \mathbb{N} (a_n \ge m)\).
Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu.
Ciąg nazywamy nieograniczonym, jeśli nie jest ograniczony.
Przykład:
Każdy ciąg stały jest ograniczony (bo jest ograniczony zarówno z dołu - przez liczby mniejsze lub równe od jego wyrazów, jak i z góry - przez liczby większe lub równe jego wyrazom).
\((1,-1,1,-1,...)\) - ciąg ograniczony z góry przez \(1\), z dołu przez \(-1\).
\((1,-1,2,-2,3,-3,...)\) - ciąg nieograniczony.
Czasem, by określić ograniczoność ciągu, można posłużyć się badaniem jego monotoniczności.
Przykład:
\(b_n = \frac{2n}{3n^2}\)
\(b_{n+1} - b_n = \frac{2(n+1)}{3(n+1)^2} - \frac{2n}{3n^2} = \frac{2n+2}{3n^2+6n+3} - \frac{2}{3n} = \frac{(2n+2)3n-2(3n^2+6n+3)}{(3n^2+6n+3)3n} \)\(= \frac{6n^2+6n-6n^2-12n-6}{(3n^2+6n+3)3n} = \frac{-6n-6}{(3n^2+6n+3)3n} = -\frac{6n+6}{(3n^2+6n+3)3n}<0\)
Ponieważ ciąg \((b_n)\) jest malejący, jego górnym ograniczeniem będzie każda liczba większa od jego pierwszego wyrazu.
Policzmy
\(b_1 = \frac 2 3\) - jest to ograniczenie górne ciągu.
Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc ograniczeniem dolnym będzie każda liczba ujemna oraz zero.
Zadania:
Podać ograniczenie górne i dolne ciągu, o ile jest on ograniczony (z góry lub z dołu).
a) \((1,2,3,4,...)\),
b) \((-2,-4,-6,-8,-2,-4,...)\),
c) \(a_n = \frac{2}{n+2}\).
Odpowiedzi:
a) ciąg ograniczony z dołu przez \(1\), z góry ciąg nie jest ograniczony,
b) ciąg ograniczony z góry przez \(-2\), z dołu przez \(-8\),
c) ciąg ograniczony z góry przez \(\frac 2 3\), z dołu np. przez \(-1\).