Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Ograniczoność ciągu – definicja, przykłady, zadania

Ostatnio komentowane
Elo mordo
XD • 2019-09-20 06:19:38
zgadzam się Lujiki ehh na tyvh stronach to potrafią bzdury pisać
SUZUKI motorsss • 2019-09-20 16:37:42
/
mari • 2019-09-19 15:47:31
bardzo fajne :)
twoja stara • 2019-09-19 12:32:42
Dawid ogar się do dziewczyny wyskakujesz ?!
AUU GŁOWA W BETONIARCE • 2019-09-20 16:39:11
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Ograniczoność ciągu jest drugą (obok monotoniczności) podstawową własnością ciągu.

 

Definicja:

Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba M, że każdy wyraz ciągu jest od niej mniejszy (formalnie: \exist M\forall n \in \mathbb{N} (a_n \le M).

Ciąg (a_n) nazywamy ograniczonym z dółu, jeśli istnieje taka liczba m, że każdy wyraz ciągu jest od niej większy (formalnie: \exist m\forall n \in \mathbb{N} (a_n \ge m).

Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu.

Ciąg nazywamy nieograniczonym, jeśli nie jest ograniczony.

 

Przykład:

Każdy ciąg stały jest ograniczony (bo jest ograniczony zarówno z dołu - przez liczby mniejsze lub równe od jego wyrazów, jak i z góry - przez liczby większe lub równe jego wyrazom).

(1,-1,1,-1,...) - ciąg ograniczony z góry przez 1, z dołu przez -1.

(1,-1,2,-2,3,-3,...) - ciąg nieograniczony.

 

Czasem, by określić ograniczoność ciągu, można posłużyć się badaniem jego monotoniczności.

 

Przykład:

b_n = \frac{2n}{3n^2}

b_{n+1} - b_n = \frac{2(n+1)}{3(n+1)^2} - \frac{2n}{3n^2}
= \frac{2n+2}{3n^2+6n+3} - \frac{2}{3n}
= \frac{(2n+2)3n-2(3n^2+6n+3)}{(3n^2+6n+3)3n}
= \frac{6n^2+6n-6n^2-12n-6}{(3n^2+6n+3)3n}
= \frac{-6n-6}{(3n^2+6n+3)3n}
= -\frac{6n+6}{(3n^2+6n+3)3n}<0 

Ponieważ ciąg (b_n) jest malejący, jego górnym ograniczeniem będzie każda liczba większa od jego pierwszego wyrazu.

Policzmy

b_1 = \frac 2 3 - jest to ograniczenie górne ciągu.

Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc ograniczeniem dolnym będzie każda liczba ujemna oraz zero.

 

Zadania:

Podać ograniczenie górne i dolne ciągu, o ile jest on ograniczony (z góry lub z dołu).

a) (1,2,3,4,...),

b) (-2,-4,-6,-8,-2,-4,...),

c) a_n = \frac{2}{n+2}.

 

Odpowiedzi:

a) ciąg ograniczony z dołu przez 1, z góry ciąg nie jest ograniczony,

b) ciąg ograniczony z góry przez -2, z dołu przez -8,

c) ciąg ograniczony z góry przez \frac 2 3, z dołu np. przez -1.

Polecamy również:

Komentarze (4)
2 + 1 =
Komentarze
ola • 2018-11-29 15:56:56
(-n)^n ____czy skoro przy parzystych jest ograniczony z dołu a przy n nie parzystych jest ograniczony z góry ale w sumie on jest ciagiem nie ograniczonym ???
asd • 2017-12-02 18:05:21
Niektórzy nie rozumieją jak widać czym jest ograniczoność ciągu. Ciąg może być 1,2,3,4,5,.. nie jest ograniczony tylko przez 1, ale też przez każdą mniejszą od 1
takijeden • 2016-12-05 20:04:47
Tak, według mnie najdokładniejszym ograniczeniem (kresem dolnym) jest 0.
Konradpros • 2016-10-06 08:10:23
"ciąg ograniczony z góry przez 2/3, z dołu np. przez -1." Co to znaczy, że jest ograniczony "np.-1". Powinna byc konkretna odpowiedz!