Jednym z najważniejszych twierdzeń geometrii, bardzo często wykorzystywanym, a przy tym chyba też najbardziej znanym - jest twierdzenie Pitagorasa.
Mówi ono o pewnym związku między długościami boków w trójkącie prostokątnym.
Twierdzenie: W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Jeśli przez i
oznaczymy przyprostokątne, a przez
przeciwprostokątną, to twierdzenie będzie mieć następującą formę:
Twierdzenie:
Geometryczny dowód twierdzenia
Dorysujmy do trójkąta prostokątnego drugi, identyczny trójkąt, w sposób pokazany na rysunku.
Otrzymaliśmy prostokąt o bokach i
. Następnie skonstruujmy większy prostokąt, mianowicie kwadrat o boku
.
Teraz pozostaje tylko porównać ten rysunek z kolejnym.
Oba rysunki przedstawiają kwadraty o boku . Po odrzuceniu czterech wyjściowych trójkątów z obu kwadratów, na pierwszym rysunku pozostają dwa kwadraty - jeden o boku
, drugi o boku
, na drugim rysunku natomiast - kwadrat o boku
. Jak widać zatem,
.
Twierdzenie pozwala znajdować długość trzeciego boku, gdy znane są dwa pozostałe.
Przykład:
Pewien trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 5 i 12. Znaleźć długość przeciwprostokątnej.
Oznaczmy przeciwprostokątną jako . Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy napisać
z czego wynika, że .
Zadanie:
Dwa krótsze boki pewnego trójkąta prostokątnego mają długość 9 i 13. Znaleźć długość trzeciego boku.
Rozwiązanie:
Trzeci bok ma długość .