Jednym z najważniejszych twierdzeń geometrii, bardzo często wykorzystywanym, a przy tym chyba też najbardziej znanym - jest twierdzenie Pitagorasa.
Mówi ono o pewnym związku między długościami boków w trójkącie prostokątnym.
Twierdzenie: W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Jeśli przez \(a\) i \(b\) oznaczymy przyprostokątne, a przez \(c\) przeciwprostokątną, to twierdzenie będzie mieć następującą formę:
Twierdzenie: \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\)
Geometryczny dowód twierdzenia
Dorysujmy do trójkąta prostokątnego drugi, identyczny trójkąt, w sposób pokazany na rysunku.
Otrzymaliśmy prostokąt o bokach \(a\) i \(b\). Następnie skonstruujmy większy prostokąt, mianowicie kwadrat o boku \(a + b\).
Teraz pozostaje tylko porównać ten rysunek z kolejnym.
Oba rysunki przedstawiają kwadraty o boku \(a + b\). Po odrzuceniu czterech wyjściowych trójkątów z obu kwadratów, na pierwszym rysunku pozostają dwa kwadraty - jeden o boku \(a\), drugi o boku \(b\), na drugim rysunku natomiast - kwadrat o boku \(c\). Jak widać zatem, \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\).
Twierdzenie pozwala znajdować długość trzeciego boku, gdy znane są dwa pozostałe.
Przykład:
Pewien trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 5 i 12. Znaleźć długość przeciwprostokątnej.
Oznaczmy przeciwprostokątną jako \(c\). Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy napisać
\(c^{2} = 5^{2} + 12^{2}\)
z czego wynika, że \(c = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\).
Zadanie:
Dwa krótsze boki pewnego trójkąta prostokątnego mają długość 9 i 13. Znaleźć długość trzeciego boku.
Rozwiązanie:
Trzeci bok ma długość \(5 \sqrt{10} \approx 15,81\).