Pole trójkąta można policzyć na bardzo wiele sposobów, w zależności od dostępnych narzędzi. W elementarnej geometrii płaszczyzny najczęściej stosowane są następujące wzory:
(1) klasyczny wzór na pole trójkąta
\(P_{\Delta} = \frac{1}{2} ah\)
- pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości
(1') klasyczny wzór na pole trójkąta równobocznego
W trójkącie równobocznym wysokość jest znana i wynosi \(h = \frac{a \sqrt{3} }{2} \), stąd po podstawieniu do klasycznego wzoru na pole trójkąta otrzymujemy wzór na pole trójkąta równobocznego:
\(P_{\Delta} = \frac{a^{2} \sqrt{3} }{4} \)
(2) wzór Herona
\(P_{\Delta} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \), gdzie \(p\) - połowa obwodu, \(p = \frac{a+b+c}{2} \)
(3) wzory z okręgami
a) gdy mamy dany okrąg opisany na trójkącie
\(P_{\Delta} = \frac{abc}{4R} \), gdzie \(R\) - promień okręgu opisanego na trójkącie.
b) gdy mamy dany okrąg wpisany w trójkąt
\(P_{\Delta} = \frac{a+b+c}{2} \cdot r\), gdzie \(r\) - promień okręgu wpisanego w trójkąt.
Zadania:
Policzyć pole trójkąta, jeśli:
a) wysokość trójkąta wynosi 3, a długość podstawy, na którą opuszczona jest ta wysokość 5,
b) jest to trójkąt równoboczny o boku 2.
Odpowiedzi:
a) \(7,5\),
b) \( \sqrt{3} \).