Środkowa trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
Każdy trójkąt ma trzy środkowe. Związane jest z nimi następujące twierdzenie:
Twierdzenie: Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie dzielącym każdą z nich w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka.
W trójkącie o bokach \(a\), \(b\), \(c\) długość środkowej \(d\) dana jest wzorem:
\(d = \frac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}} }{2}\).
Zadanie:
Policzyć długość środkowej trójkąta równoramiennego o bokach 5, 5 i 6, padającej na podstawę.
Rozwiązanie:
Środkowa łączy wierzchołek z podstawą, a zatem z bokiem o długości 6. Korzystając ze wzoru obliczamy:
\( \frac{ \sqrt{2 \cdot 5^{2} +2 \cdot 5^{2}-6^{2} } }{2} = \frac{ \sqrt{2 \cdot 25 +2 \cdot 25 -36 } }{2} = \frac{ \sqrt{100 -36 } }{2} = \frac{ \sqrt{64 } }{2} = \frac{ 8 }{2} = 4\).
Środkowa ma długość 4.