Wyobraźmy sobie, że efektem pewnego doświadczenia może być jeden z dwóch wyników, przy czym „dróg” do niego prowadzących jest wiele. Do policzenia prawdopodobieństwa każdego z tych zdarzeń wykorzystywane jest tzw. wzór na prawdopodobieństwo całkowite.\(P(A) = P(B_1)\cdot P(A|B_1) + P(B_2)\cdot P(A|B_2) + ... + P(B_n)\cdot P(A|B_n)\)
W ogólności schemat ten dotyczy tzw. doświadczeń wieloetapowych, tzn. takich, w których po jednych zdarzeniach następują kolejne. Oczywiście, wszystkie zdarzenia \(B_1,...,B_n\) muszą być parami niezależne, a dokładniej zachodzić musi para warunków \(B_i \cap B_j = \emptyset\) dla dowolnych \(i\), \(j\) o ile \(i \neq j\) oraz \(B_1 \cup ... \cup B_n = \Omega\).
Przykład:
Niech dana będą trzy urny z kulami:
Wyobraźmy sobie eksperyment polegający na rzucaniu kostką i losowaniu kuli z urny:
(1) pierwszej gdy wypadnie \(2\) lub \(3\),
(2) drugiej gdy wypadnie \(5\),
(3) trzeciej w pozostałych przypadkach.
Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?
Przedstawmy sytuację na diagramie:
Teraz przyporządkujmy poszczególnym sytuacjom prawdopodobieństwa zgodnie z danymi z zadania.
Po tej wstępnej analizie skorzystać możemy z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Interesują nas sytuacje, w których wylosujemy kulę białą. Oznaczmy zatem \(P(A)\) jako prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli i policzmy:\(P(A) = \frac 26 \cdot \frac 38 + \frac16 \cdot \frac5{12} + \frac36 \cdot \frac 49 = \frac 3 {24} + \frac 5{72} + \frac 2 9 = \frac {30}{72} \approx 41,6%\)
Takie jest więc całkowite prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli.
Zadanie:
Wybieramy losowo liczbę \(n\) ze zbioru \(\left \{ 1,2,3,4 \right \}\) a potem rzucamy \(n\) razy kostką. Jaka jest szansa na to, że wypadną same szóstki?
Odpowiedzi:
\(\frac{259}{5184}\).