Prawdopodobieństwo warunkowe pomocne jest przy obliczaniu tego, że dane zdarzenie wydarzy się pod warunkiem, że wydarzyło się inne zdarzenie. Wzór Bayesa zaś umożliwia przeprowadzenie tego rozumowania w drugą stronę, tzn. szacowanie prawdopodobieństwa odwrotnego niż warunkowe. W najprostszej postaci ma on formę
\(P(B_i|A)=\frac {P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}\),
przy czym \(P(A)\) liczymy z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite.
Przykład:
Do dyspozycji są dwie kostki - pierwsza jest idealnie symetryczna, a druga podpiłowana tak, że prawdopodobieństwo wyrzucenia na niej szóstki wzrosło do \(\frac15\). Wykonane zostały dwa rzuty, przy losowym wyborze kostek i wypadły dwie szótki. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucono oszukiwaną kostką?
Oznaczmy przez \(A\) zdarzenie polegające na wyrzuceniu dwóch szóstek, natomiast \(B_1\) i \(B_2\) będą oznaczać odpowiednio rzut prawidłową kostką i rzut kostką-szulerką. Wówczas sytuacja narysowana na diagramie przedstawia się następująco:
Oczywiście \(P(A|B_1) = \frac 16 \cdot \frac 16 = \frac 1 {36}\), a także \(P(A|B_2) = \frac 15 \cdot \frac 15 = \frac 1 {25}\).
Wybór kostki następował w sposób losowy, zatem \(P(B_1) = P(B_2) = \frac12\).
Wiemy również (z wzoru na prawopodobieństwo całkowite), że \(P(A) = \frac 1{25} \cdot \frac12 + \frac 1{36} \cdot \frac12 = \frac 1{50} + \frac1{72} = \frac {122}{3600}\).
Teraz policzyć możemy
\(P(B_2|A) = \frac{P(A|B_2)P(B_2)}{P(A)} =\frac {\frac1{25}\cdot\frac12}{\frac{122}{3600}} = \frac 1{50}\cdot \frac {3600}{122} = \frac {36}{61} \approx 0,59\)
Zatem prawdopodobieństwo tego, że rzucono piłowaną kostką wynosi \(0,59\).
Zadanie:
W pierwszej urnie są dwie kule białe i jedna czarna, a w drugiej odwrotnie. Z losowo wybranej urny wyjęto jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wylosowana kula pochodzi z pierwszej urny, jeśli wiadomo, że jest to kula biała?
Odpowiedzi:
\(\frac23\).