Doświadczenie losowe to takie, którego wyniku nie możemy przewidzieć. Każdy możliwy wynik takiego doświadczenia nazywamy zdarzeniem elementarnym. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia nazywamy przestrzenią zdarzeń i oznaczamy \(\Omega\).
Przy tym, należy pamiętać, że wystąpienie każdego wyniku doświadceznia musi wykluczać każdy z pozostałych wyników, a zatem mówimy, że zdarzenia elementarne są parami rozłączne.
Każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym.
Przykład:
Dla rzutu sześciościenną kostką do gry każdy z możliwych wyników \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\) jest zdarzeniem elementarnym.
\(\Omega = \left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\)
Przykładem zdarzenia losowego będzie natomiast otrzymanie wyniku będącego liczbą pierwszą (są trzy takie zdarzenia: \(2\), \(3\) i \(5\)).
Gdybyśmy rzucali dwiema kostkami wówczas zdarzeniami elementarnymi byłyby dwójki \(\left \{ x,y \right \}\), gdzie \(x\) i \(y\) są liczbami ze zbioru \(\left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}\). Wszystkich zdarzeń elementarnych jest \(6 \cdot 6 = 36\). Wówczas zdarzeniem losowym polegającym na wylosowaniu na obu kostkach liczby pierwszej byłyby wyniki \(\left \{ 2,2 \right \}\), \(\left \{2,3 \right \}\), \(\left \{ 2,5 \right \}\), \(\left \{ 3,3 \right \}\), \(\left \{ 3,5\right \}\), \(\left \{ 5,5\right \}\). Zatem takich zdarzeń losowych jest \(6\).
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa jest następująca:
Def.: Jeśli \(\Omega\) jest skończonym i niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego \(A \subset \Omega\) jest równe
\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\).
Innymi słowy, aby poznać prawdopodobieństwo wystąpienia danego zdarzenia należy policzyć wszystkie możliwe wyniki „sprzyjające” temu zdarzeniu, a następnie podzielić otrzymaną liczbę przez ilość wszystkich zdarzeń elementranych doświadczenia.
Przykład:
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucając dwiema kostkami otrzyma się dwie liczby pierwsze?
Policzmy, korzystając z wcześniejszych rozważań: \(\frac6{36} = \frac16\).
A jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucając dwiema kostkami otrzymamy dokładnie jedną liczbę pierwsza?
Na jednej kostce musi wypaść liczba pierwsza (\(3\) sprzyjające sytuacje dla każdej z dwóch kostek, a zatem w sumie \(6\)), na drugiej natomiast liczba nie będąca liczbą pierwszą (a zatem liczba złożona - są w sumie \(3\) takie sytuacje, bo kostkę możemy wybrać tylko na jeden sposób - jako tą, na której nie wypadła liczba pierwsza). Ostatecznie zatem prawdopodobieństwo to jest równe \(\frac{6\cdot3}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}2\).
Zadania:
1. Rzucamy trzema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania
a) jednej reszki?
b) dwóch orłów?
2. W czterech szufladach rozmieszczamy losowo cztery ponumerowane kule. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w każdej szufladzie będzie co najmniej jedna kula?
Odpowiedzi:
1. Oba prawdopodobieństwa wynoszą \(\frac 3 8\).
2. \(\frac{4!}{4^4}=\frac{3}{32}\).