Prawdopodobieństwo klasyczne – definicja, wzory, przykłady, zadania

Doświadczenie losowe to takie, którego wyniku nie możemy przewidzieć. Każdy możliwy wynik takiego doświadczenia nazywamy zdarzeniem elementarnym. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia nazywamy przestrzenią zdarzeń i oznaczamy \Omega.

Przy tym, należy pamiętać, że wystąpienie każdego wyniku doświadceznia musi wykluczać każdy z pozostałych wyników, a zatem mówimy, że zdarzenia elementarne są parami rozłączne.

Każdy podzbiór skończonego zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym.

 

Przykład:

Dla rzutu sześciościenną kostką do gry każdy z możliwych wyników 123456 jest zdarzeniem elementarnym.

\Omega = \left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}

Przykładem zdarzenia losowego będzie natomiast otrzymanie wyniku będącego liczbą pierwszą (są trzy takie zdarzenia: 235).

Gdybyśmy rzucali dwiema kostkami wówczas zdarzeniami elementarnymi byłyby dwójki \left \{ x,y \right \}, gdzie xy są liczbami ze zbioru \left \{ 1,2,3,4,5,6 \right \}. Wszystkich zdarzeń elementarnych jest 6 \cdot 6 = 36. Wówczas zdarzeniem losowym polegającym na wylosowaniu na obu kostkach liczby pierwszej byłyby wyniki \left \{ 2,2 \right \}\left \{2,3  \right \}\left \{ 2,5 \right \}\left \{ 3,3 \right \}\left \{  3,5\right \}\left \{  5,5\right \}. Zatem takich zdarzeń losowych jest 6.

 

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa jest następująca:

Def.: Jeśli \Omega jest skończonym i niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A  \subset  \Omega jest równe

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}.

 

Innymi słowy, aby poznać prawdopodobieństwo wystąpienia danego zdarzenia należy policzyć wszystkie możliwe wyniki „sprzyjające” temu zdarzeniu, a następnie podzielić otrzymaną liczbę przez ilość wszystkich zdarzeń elementranych doświadczenia.

 

Przykład:

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucając dwiema kostkami otrzyma się dwie liczby pierwsze?

Policzmy, korzystając z wcześniejszych rozważań: \frac6{36} = \frac16.

A jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucając dwiema kostkami otrzymamy dokładnie jedną liczbę pierwsza?

Na jednej kostce musi wypaść liczba pierwsza (3 sprzyjające sytuacje dla każdej z dwóch kostek, a zatem w sumie 6), na drugiej natomiast liczba nie będąca liczbą pierwszą (a zatem liczba złożona - są w sumie 3 takie sytuacje, bo kostkę możemy wybrać tylko na jeden sposób - jako tą, na której nie wypadła liczba pierwsza). Ostatecznie zatem prawdopodobieństwo to jest równe \frac{6\cdot3}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}2.

 

Zadania:

1. Rzucamy trzema monetami. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania

a) jednej reszki?

b) dwóch orłów?

2. W czterech szufladach rozmieszczamy losowo cztery ponumerowane kule. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w każdej szufladzie będzie co najmniej jedna kula?

 

Odpowiedzi:

1. Oba prawdopodobieństwa wynoszą \frac 3 8.

2. \frac{4!}{4^4}=\frac{3}{32}.

Polecamy również:

Komentarze (2)
Wynik działania 5 + 1 =
Jokerek
2022-03-15 06:55:16
Pozdrawiam :)
kon
2020-05-03 11:11:08
ok
Ostatnio komentowane
fajne :> ciekawe
• 2023-01-28 13:30:03
Rola Francji: Francja była jednym z głównych sprzymierzeńców ruchu zjednoczeniowego i...
• 2023-01-26 11:32:53
dzieki
• 2023-01-26 06:23:39