Zauważmy, że zupełnie podstawowymi własnościami prawdopodobieństwa są jego nieujemność oraz zawieranie się w zbiorze \([0,1]\).
Zdefiniujmy zdarzenie pewne jako zdarzenie losowe, któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne. Prawdopodobieństwo zrealizowania się zdarzenia pewnego wynosi \(1\) (innymi słowy: na pewno coś się wydarzy), natomiast prawdopodobieństwo, że nie zrealizuje się żadne ze zdarzeń elementarnych z danej przestrzeni jest zerowe.
Kolejną własnością prawdopodobieństwa jest fakt, że jeśli zdarzenia \(A,B \subset \Omega\) są rozłączne to \(P(A \cup B) = P(A) +P(B)\).
W gruncie rzeczy w oparciu o te powyższe własności możemy sformułować alternatywną do klasycznej definicję prawdopodobieństwa. Przyjęcie tej definicji pociąga za sobą także następujące własności:
(1) jeżeli \(A \subset B\) to \(P(A) \le P(B)\),
(2) dla każdego \(A \subset \Omega\) \(P(A) \le 1\),
(3) \(P(A') = 1 - P(A)\),
(4) \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
Znaczenie pierwszej własności jest takie, że jeśli danemu zdarzeniu losowemu sprzyja więcej zdarzeń elementarnych niż innemu, to musi ono cechować się również większym od niego prawdopodobieństwem.
Druga własność mówi o tym, że żadne zdarzenie nie może być bardziej prawdopodobne niż zdarzenie pewne (tzn. dane zdarzenie może być co najwyżej równie prawdopodobne co zdarzenie pewne).
Własność trzecia opisuje prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do danego. Własność ta jest zgodna z intuicją, mamy bowiem, że \(A' \cup A = \Omega\), zatem \(P(A' \cup A) = P(\Omega) = 1\), a jednocześnie, ponieważ zdarzenia \(A\) i \(A'\) są rozłączne, to (z definicji) \(P(A' \cup A) = P(A') + P(A)\), stąd zaś otrzymujemy natychmiast, że \(P(A') = 1 -P(A)\).
Znaczenie ostatniej własności jest następujące - jeśli jakieś dwa zdarzenia losowe nie są rozłączne (tzn. istnieją zdarzenia elementarne sprzyjające jednocześnie każdemu z tych zdarzeń) to aby obliczyć prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń należy od sumy ich prawdopodobieństw odjąć prawdopodobieństwo ich iloczynu.
Przykład:
Wynikiem pewnego doświadczenia może być jeden z trzech wykluczających się efektów: \(A\), \(B\) lub \(C\). Jakie jest prawdopodobieństwo każdego z tych wyników, jeśli prawdopodobieństwo otrzymania wyniku \(A\) lub \(B\) wynosi \(\frac 23\), a prawdopodobieństwo otrzymania wyniku \(B\) lub \(C\) \(\frac 56\)?
Mamy zatem \(P(A \cup B) = \frac 2 3\), \(P(B \cup C) = \frac56\) oraz \(A\), \(B\) i \(C\) są paramie rozłączne, stąd \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Zauważmy też, że \(P(A \cup B) = P(C')\), zatem \(P(C) = 1 - P(C') = 1 - P(A \cup B) = 1 -\frac23 = \frac13\).
Podobnie \(P(B \cup C) = P(A')\), więc \(P(A) = 1 - P(A') = 1 - P(B \cup C) = 1 - \frac 56 = \frac 16\).
Na koniec z faktu, że \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) mamy, że \(P(B) = P(A \cup B) - P(A) = \frac23 - \frac16 = \frac 36 = \frac 12\).
Zadania:
Na egzaminie student otrzymuje jedną z ocen \(A\), \(B\), \(C\), \(D\). Egzamin jest zdany w przypadku otrzymania \(A\), \(B\) lub \(C\). Prawdopodobieństwo, że student dostanie ocenę \(A\) lub \(B\) wynosi \(0,6\). Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania oceny \(C\), jeśli prawdopodobieństwo zdania egzaminu wynosi \(0,9\)?
Odpowiedzi:
\(0,3\).