Równania stopnia trzeciego i wyższych stopni

Równanie jest równaniem stopnia trzeciego, kiedy jest postaci

a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = 0

Równanie jest równaniem stopnia czwartego, kiedy jest postaci

a_{4}x^{4} + a_{3}x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} = 0

Jak łatwo się domyślić podobnie definiujemy równania wyższych stopni.

 

Rozwiązywanie każdego z tych równań sprowadza się do rozłożenia na czynniki wielomianu, jakim jest lewa strona równania.

Czynnikami nazywamy wszystkie czynniki liniowe oraz te czynniki kwadratowe, które są nierozkładalne, tzn. ich  \Delta  jest ujemna.

 

Przykład:

(x+5), (2x-2), (4x + 1) - czynniki liniowe.

(x^{2} + 5), (x^{2} + 4x + 5)(x^{2} + 150) - nierozkładalne czynniki kwadratowe (żadnego z nich nie można rozbić na dwa czynniki liniowe).

 

Kiedy wielomian jest rozłożony na czynniki, rozwiązania równania po prostu odczytujemy z jego postaci.

Rozwiązaniami równania (x-3)(x-2)(x^2+1) = 0 są liczby 3 oraz 2 - bo podstawione do pierwszych dwóch nawiasów wyzerują wielomian, co zrówna obie strony równania.

 

Zatem cały problem rozwiązywania równań stopnia trzeciego oraz wyższych stopni, sprowadza się do dokonania odpowiedniego dzielenia wielomianów.

 

Przykład:

Dla równania x^{4} - 5x^{3} + 7x^{2}-5x + 6 = 0 chcemy znaleźć taki dwumian (x-a), żeby po podzieleniu przez ten dwumian obniżyć stopień tego wielomianu. W tym celu rozważamy dwumiany dla parametrów a będących podzielnikami wyrazu wolnego tego wielomianu, a zatem - w tym przypadku - podzielnikami liczby 6. Tymi podzielnikami są liczby 23. Podstawiamy te liczby do równania sprawdzając, czy jest ono przez nie spełnione. W tym przypadku obie liczby - zarówno 2 jak i 3, spełniają równanie. Możemy zatem podzielić wielomian przez jeden z dwumianów (x-2), (x-3). Jeśli wykonamy dzielenie przez pierwszy dwumian, równanie będzie mieć postać  (x-2)(x^{3}-3x^{2}+x-3) = 0 , natomiast w drugim przypadku - (x-3)(x^{3}-2x^{2}+x-2) = 0. Niezależnie od tego, którą z opcji wybierzemy, w następnym kroku i tak będziemy musieli przeprowadzić podobne rozważania dla wielomianu o jeden stopień niższego, tj. dla tego wielomianu, który powstał poprzez wyłączenie czynnika bądź to (x-2), bądź też (x-3). Ostatecznie wielomian ma postać  (x-3)(x-2)(x^2+1) = 0, i z poprzedniego przykładu wiemy, że jego rozwiązaniami są liczby 2 i 3.

 

Zadanie:

Rozwiązać następujące równania:

a) x^{3} - 7x^{2} + 2x + 40 = 0,

b) x^{4}+  6x^{3} +x^{2} -4x -60 = 0.

 

Odpowiedzi:

a) x_{1} = -2, x_{2} = 4, x_{3} = 5,

b) x_{1} = -6, x_{2} = 2.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
okokok
• 2024-02-22 15:33:45
OK
• 2024-02-21 20:23:35
dziękuję bardzo ratujecie mnie
• 2024-02-21 19:08:12
i
• 2024-02-20 09:57:14
Bardzo pomogło mi w zadaniu domowym
• 2024-02-18 10:48:52