Równania dwukwadratowe

Szczególnym przypadkiem równań stopnia wyższego niż trzy są tak zwane równania dwukwadratowe, tj. równania postaci

$ax^4+bx^2+c=0$ przywodzące na myśl równania kwadratowe - i tak właśnie się je rozwiązuje. Aby sprowadzić to równanie do równania kwadratowego posłużymy się zmienną pomocniczą.

Podstawmy $x^2=t$ . Wówczas równanie przybiera postać

$at^2+bt+c=0$ i rozwiązujemy je poszukując rozwiązań równania kwadratowego, ale tylko dodatnich - ujemne $t$ nie spełniają warunku $x^2=t$ .

Przykład:

Rozwiążmy równanie

$x^4-5x^2+4=0$ .

Podstawiamy

$x^2=t$

I otrzymujemy

$t^2-5t+4=0$ .

Znajdziemy rozwiązania tego równania licząc deltę.

$\Delta =( -5)^2-4 \cdot 4=25-16=9$

Delta jest dodatnia a zatem równanie ma dwa rozwiązania:

$t_1= \frac{5-3}{2}=1$

$t_2= \frac{5+3}{2}=4$

Oba rozwiązania są dodatnie, więc znajdziemy cztery rozwiązania równania początkowego ze zmienną $x$ :

$t_1=1$ , zatem $x ^{2} =1$ .

Stąd $x=1$ lub $x=-1$

$t_2=4$ , więc $x^2=4$

Co daje nam $x=2$ oraz $x=-2$ .

A zatem $x\in\{-2,-1,1,2\}$ .

Przykład:

Rozwiążmy równanie dwukwadratowe

$x^4+2x^2-8=0$ .

Jak poprzednio, podstawimy $x^2=t$ .

Równanie kwadratowe

$t^2+2t-8=0$

Rozwiązujemy licząc deltę.

$\Delta =2^2-4 \cdot (-8)=4+32=36$

Delta jest dodatnia, zatem mamy dwa pierwiastki:

$t_1= \frac{-2+6}{2} =2$

$t_2= \frac{-2-6}{2} =-4$

Tylko jeden z tych pierwiastków jest liczbą dodatnią, a zatem tylko on spełnia równanie $x^2=t$ .

$x^2=2$ , w takim razie $x= \sqrt{2}$ lub $2= -\sqrt{2}$ .

Ostatecznie równanie $x^4+2x^2-8=0$ ma dwa różne rozwiązania, $x\in\{- \sqrt{2} , \sqrt{2} \}$ .

Zobacz również

Równania kwadratowe

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci...
Więcej
Równania wykładnicze i logarytmiczne

Równaniem wykładniczym nazywamy każde równanie, w którym zmienna znajduje się w wykładniku potęgi. Rozwiązując takie równania korzystamy z praw działania na potęgach oraz własności logarytmów. Równaniem logarytmicznym nazywamy każde równanie, w którym zmienna jest logarytmowana. R...
Więcej
Równania liniowe

Równaniem liniowym z jedną zmienną jest każde równanie postaci...
Więcej
Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartościa bezwzględną, to takie, w których zmienna zawarta jest wewnątrz nawiasów oznaczających wartość bezwzględną.
Więcej
Równania wymierne

Aby rozwiązać równanie wymierne należy tak je przekształcić, by...
Więcej

Losowe zadania

Określ, w której probówce wydzieliło się więcej gazu

Do 2 probówek zawierających nadmiar kwasu solnego lub wodorotlenku sodu, oba w stężeniu 4 mol/dm3, dodano 5,4 g glinu. W wyniku reakcji w obu probówkach wydzielił się bezbarwny gaz. Porównaj ilość wydzielonego gazu (w warunkach normalnych) i odpowiedz, w której probówce powstało go więcej.
0 Odpowiedz Więcej
Oblicz stałą i stopień dysocjacji w oparciu o podane dane

W 0,003 m3 wodnego roztworu kwasu o wzorze HX znajduje się 5,418×1023 jonów X- oraz 6 moli niezdysocjowanych cząsteczek HX. Na podstawie danych oblicz wartość stałej i stopnia dysocjacji.
0 Odpowiedz Więcej
Zapoznaj się z opisem kwasów HX i HY i odpowiedz, który z nich w wyższe pH w roztworze.

Dla dwóch kwasów HX oraz HY sporządzono wodne roztwory, a także ich soli NaX i NaY. Wszystkie roztwory miały stężenie 1 mol/dm3. Wiedząc, że w temperaturze 25°C stałe dysocjacji wynoszą odpowiednio: KHX = 4,2×10-5, KHY = 3,2×10-2, rozwiąż poniższe polecenia: a) Zapisz w formie cząsteczkowej równani...
0 Odpowiedz Więcej
Ekwici - nowa warstwa społeczna w republikańskim Rzymie

Kim byli ekwici? Jak doszło do powstania tej warstwy społecznej?
0 Odpowiedz Więcej
Połączenia międzykomórkowe

Komórki budujące organizm wielokomórkowy mają zdolność łączenia się ze sobą. W przypadku komórek roślinnych rolę połączeń międzykomórkowych pełnią plazmodesmy, mające postać kanalików wypełnionych pasmem cytoplazmy i siateczki śródplazmatycznej. Jakie struktury są odpowiednikami plazmod...
0 Odpowiedz Więcej

Komentarze (0)

Impresjonizm w literaturze

z • 2020-04-01 20:13:23

Ekstaza św. Teresy

Lubicie mnie chociaż tutaj?

Dis • 2020-04-01 18:53:24

Opracowanie

Nawet nawet

OlisiaSyb • 2020-04-01 17:33:11

Sytuacja Polaków pod okupacją niemiecką i radziecką

xd • 2020-04-01 17:22:06

Usługi komunikacyjne

fajnie

ls • 2020-04-01 13:17:22