Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Równania dwukwadratowe

Ostatnio komentowane
3
21 • 2019-12-12 19:49:22
Jest błąd w treści na samym początku drugiej informacji na temat planet wewnętrznych,...
Xxd • 2019-12-12 18:54:28
Skomentuj tekst
Adam • 2019-12-12 15:03:55
Szkoda komentować...
Vaspov • 2019-12-12 14:21:30
"print(0);"
asd • 2019-12-12 06:48:04
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Szczególnym przypadkiem równań stopnia wyższego niż trzy są tak zwane równania dwukwadratowe, tj. równania postaci

ax^4+bx^2+c=0 przywodzące na myśl równania kwadratowe - i tak właśnie się je rozwiązuje. Aby sprowadzić to równanie do równania kwadratowego posłużymy się zmienną pomocniczą.

Podstawmy x^2=t. Wówczas równanie przybiera postać

at^2+bt+c=0 i rozwiązujemy je poszukując rozwiązań równania kwadratowego, ale tylko dodatnich - ujemne t nie spełniają warunku x^2=t.

Przykład:

Rozwiążmy równanie

x^4-5x^2+4=0.

Podstawiamy

x^2=t

I otrzymujemy

t^2-5t+4=0.

Znajdziemy rozwiązania tego równania licząc deltę.

 \Delta =( -5)^2-4 \cdot 4=25-16=9

Delta jest dodatnia a zatem równanie ma dwa rozwiązania:

t_1= \frac{5-3}{2}=1

t_2= \frac{5+3}{2}=4

Oba rozwiązania są dodatnie, więc znajdziemy cztery rozwiązania równania początkowego ze zmienną x:

t_1=1, zatem x ^{2} =1.

Stąd x=1 lub x=-1

t_2=4, więc x^2=4

Co daje nam x=2 oraz x=-2.

A zatem x\in\{-2,-1,1,2\}.

Przykład:

Rozwiążmy równanie dwukwadratowe

x^4+2x^2-8=0.

Jak poprzednio, podstawimy x^2=t.

Równanie kwadratowe

t^2+2t-8=0

Rozwiązujemy licząc deltę.

 \Delta =2^2-4 \cdot (-8)=4+32=36

Delta jest dodatnia, zatem mamy dwa pierwiastki:

t_1= \frac{-2+6}{2} =2

t_2= \frac{-2-6}{2} =-4

Tylko jeden z tych pierwiastków jest liczbą dodatnią, a zatem tylko on spełnia równanie x^2=t.

x^2=2, w takim razie x= \sqrt{2} lub 2= -\sqrt{2} .

Ostatecznie równanie x^4+2x^2-8=0 ma dwa różne rozwiązania, x\in\{- \sqrt{2} , \sqrt{2} \}.

Polecamy również:

Komentarze (0)
1 + 2 =