Szczególnym przypadkiem równań stopnia wyższego niż trzy są tak zwane równania dwukwadratowe, tj. równania postaci
\(ax^4+bx^2+c=0\) przywodzące na myśl równania kwadratowe - i tak właśnie się je rozwiązuje. Aby sprowadzić to równanie do równania kwadratowego posłużymy się zmienną pomocniczą.
Podstawmy \(x^2=t\). Wówczas równanie przybiera postać
\(at^2+bt+c=0\) i rozwiązujemy je poszukując rozwiązań równania kwadratowego, ale tylko dodatnich - ujemne \(t\) nie spełniają warunku \(x^2=t\).
Przykład:
Rozwiążmy równanie
\(x^4-5x^2+4=0\).
Podstawiamy
\(x^2=t\)
I otrzymujemy
\(t^2-5t+4=0\).
Znajdziemy rozwiązania tego równania licząc deltę.
\( \Delta =( -5)^2-4 \cdot 4=25-16=9\)
Delta jest dodatnia a zatem równanie ma dwa rozwiązania:
\(t_1= \frac{5-3}{2}=1 \)
\(t_2= \frac{5+3}{2}=4\)
Oba rozwiązania są dodatnie, więc znajdziemy cztery rozwiązania równania początkowego ze zmienną \(x\):
\(t_1=1\), zatem \(x ^{2} =1\).
Stąd \(x=1\) lub \(x=-1\)
\(t_2=4\), więc \(x^2=4\)
Co daje nam \(x=2\) oraz \(x=-2\).
A zatem \(x\in\{-2,-1,1,2\}\).
Przykład:
Rozwiążmy równanie dwukwadratowe
\(x^4+2x^2-8=0\).
Jak poprzednio, podstawimy \(x^2=t\).
Równanie kwadratowe
\(t^2+2t-8=0\)
Rozwiązujemy licząc deltę.
\( \Delta =2^2-4 \cdot (-8)=4+32=36\)
Delta jest dodatnia, zatem mamy dwa pierwiastki:
\(t_1= \frac{-2+6}{2} =2\)
\(t_2= \frac{-2-6}{2} =-4\)
Tylko jeden z tych pierwiastków jest liczbą dodatnią, a zatem tylko on spełnia równanie \(x^2=t\).
\(x^2=2\), w takim razie \(x= \sqrt{2} \) lub \(2= -\sqrt{2} \).
Ostatecznie równanie \(x^4+2x^2-8=0\) ma dwa różne rozwiązania, \(x\in\{- \sqrt{2} , \sqrt{2} \}\).