Równania dwukwadratowe

W tym dziale

Równania dwukwadratowe

Drukuj: Drukuj
Rozmiar: AAA

Szczególnym przypadkiem równań stopnia wyższego niż trzy są tak zwane równania dwukwadratowe, tj. równania postaci

$ax^4+bx^2+c=0$ przywodzące na myśl równania kwadratowe - i tak właśnie się je rozwiązuje. Aby sprowadzić to równanie do równania kwadratowego posłużymy się zmienną pomocniczą.

Podstawmy $x^2=t$ . Wówczas równanie przybiera postać

$at^2+bt+c=0$ i rozwiązujemy je poszukując rozwiązań równania kwadratowego, ale tylko dodatnich - ujemne $t$ nie spełniają warunku $x^2=t$ .

Przykład:

Rozwiążmy równanie

$x^4-5x^2+4=0$ .

Podstawiamy

$x^2=t$

I otrzymujemy

$t^2-5t+4=0$ .

Znajdziemy rozwiązania tego równania licząc deltę.

$\Delta =( -5)^2-4 \cdot 4=25-16=9$

Delta jest dodatnia a zatem równanie ma dwa rozwiązania:

$t_1= \frac{5-3}{2}=1$

$t_2= \frac{5+3}{2}=4$

Oba rozwiązania są dodatnie, więc znajdziemy cztery rozwiązania równania początkowego ze zmienną $x$ :

$t_1=1$ , zatem $x ^{2} =1$ .

Stąd $x=1$ lub $x=-1$

$t_2=4$ , więc $x^2=4$

Co daje nam $x=2$ oraz $x=-2$ .

A zatem $x\in\{-2,-1,1,2\}$ .

Przykład:

Rozwiążmy równanie dwukwadratowe

$x^4+2x^2-8=0$ .

Jak poprzednio, podstawimy $x^2=t$ .

Równanie kwadratowe

$t^2+2t-8=0$

Rozwiązujemy licząc deltę.

$\Delta =2^2-4 \cdot (-8)=4+32=36$

Delta jest dodatnia, zatem mamy dwa pierwiastki:

$t_1= \frac{-2+6}{2} =2$

$t_2= \frac{-2-6}{2} =-4$

Tylko jeden z tych pierwiastków jest liczbą dodatnią, a zatem tylko on spełnia równanie $x^2=t$ .

$x^2=2$ , w takim razie $x= \sqrt{2}$ lub $2= -\sqrt{2}$ .

Ostatecznie równanie $x^4+2x^2-8=0$ ma dwa różne rozwiązania, $x\in\{- \sqrt{2} , \sqrt{2} \}$ .

Polecamy również:

Równania kwadratowe

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci... Więcej »
Równania wykładnicze i logarytmiczne

Równaniem wykładniczym nazywamy każde równanie, w którym zmienna znajduje się w wykładniku potęgi. Rozwiązując takie równania korzystamy z praw działania na potęgach oraz własności logarytmów. Równaniem logarytmicznym nazywamy każde równanie, w którym zmienna... Więcej »
Równania liniowe

Równaniem liniowym z jedną zmienną jest każde równanie postaci... Więcej »
Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartościa bezwzględną, to takie, w których zmienna zawarta jest wewnątrz nawiasów oznaczających wartość bezwzględną. Więcej »
Równania wymierne

Aby rozwiązać równanie wymierne należy tak je przekształcić, by... Więcej »

Ostatnio dodane
Losowe

•Równania różniczkowe
•Szereg Taylora
•Współrzędne sferyczne
•Współrzędne biegunowe
•Układy współrzędnych
•Wzór Taylora
•Różniczka zupełna
•Pochodne cząstkowe
•Wzory Viete'a
•Metoda równań macierzowych i macierzy odwrotnej

Komentarze (0)

Księga Psalmów

21 • 2019-12-12 19:49:22

Planety wewnętrzne

Jest błąd w treści na samym początku drugiej informacji na temat planet wewnętrznych,...

Xxd • 2019-12-12 18:54:28

Recenzja książki

Skomentuj tekst

Adam • 2019-12-12 15:03:55

Jan Karol Chodkiewicz - biografia i dokonania

Szkoda komentować...

Vaspov • 2019-12-12 14:21:30

Bohaterowie drugoplanowi

"print(0);"

asd • 2019-12-12 06:48:04