Równania dwukwadratowe

W tym dziale

Równania dwukwadratowe

Drukuj: Drukuj
Rozmiar: AAA

Szczególnym przypadkiem równań stopnia wyższego niż trzy są tak zwane równania dwukwadratowe, tj. równania postaci

$ax^4+bx^2+c=0$ przywodzące na myśl równania kwadratowe - i tak właśnie się je rozwiązuje. Aby sprowadzić to równanie do równania kwadratowego posłużymy się zmienną pomocniczą.

Podstawmy $x^2=t$ . Wówczas równanie przybiera postać

$at^2+bt+c=0$ i rozwiązujemy je poszukując rozwiązań równania kwadratowego, ale tylko dodatnich - ujemne $t$ nie spełniają warunku $x^2=t$ .

Przykład:

Rozwiążmy równanie

$x^4-5x^2+4=0$ .

Podstawiamy

$x^2=t$

I otrzymujemy

$t^2-5t+4=0$ .

Znajdziemy rozwiązania tego równania licząc deltę.

$\Delta =( -5)^2-4 \cdot 4=25-16=9$

Delta jest dodatnia a zatem równanie ma dwa rozwiązania:

$t_1= \frac{5-3}{2}=1$

$t_2= \frac{5+3}{2}=4$

Oba rozwiązania są dodatnie, więc znajdziemy cztery rozwiązania równania początkowego ze zmienną $x$ :

$t_1=1$ , zatem $x ^{2} =1$ .

Stąd $x=1$ lub $x=-1$

$t_2=4$ , więc $x^2=4$

Co daje nam $x=2$ oraz $x=-2$ .

A zatem $x\in\{-2,-1,1,2\}$ .

Przykład:

Rozwiążmy równanie dwukwadratowe

$x^4+2x^2-8=0$ .

Jak poprzednio, podstawimy $x^2=t$ .

Równanie kwadratowe

$t^2+2t-8=0$

Rozwiązujemy licząc deltę.

$\Delta =2^2-4 \cdot (-8)=4+32=36$

Delta jest dodatnia, zatem mamy dwa pierwiastki:

$t_1= \frac{-2+6}{2} =2$

$t_2= \frac{-2-6}{2} =-4$

Tylko jeden z tych pierwiastków jest liczbą dodatnią, a zatem tylko on spełnia równanie $x^2=t$ .

$x^2=2$ , w takim razie $x= \sqrt{2}$ lub $2= -\sqrt{2}$ .

Ostatecznie równanie $x^4+2x^2-8=0$ ma dwa różne rozwiązania, $x\in\{- \sqrt{2} , \sqrt{2} \}$ .

Polecamy również:

Równania kwadratowe

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci... Więcej »
Równania wykładnicze i logarytmiczne

Równaniem wykładniczym nazywamy każde równanie, w którym zmienna znajduje się w wykładniku potęgi. Rozwiązując takie równania korzystamy z praw działania na potęgach oraz własności logarytmów. Równaniem logarytmicznym nazywamy każde równanie, w którym zmienna... Więcej »
Równania liniowe

Równaniem liniowym z jedną zmienną jest każde równanie postaci... Więcej »
Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartościa bezwzględną, to takie, w których zmienna zawarta jest wewnątrz nawiasów oznaczających wartość bezwzględną. Więcej »
Równania wymierne

Aby rozwiązać równanie wymierne należy tak je przekształcić, by... Więcej »

Ostatnio dodane
Losowe

Komentarze (0)

Joseph Fourier

Tekst zapewne zredagowany przez historyka. Tak naprawdę nic na temat rewolucyjnych osiąg...

furiat • 2019-08-15 11:10:28

Arytmetyka i teoria liczb

Szkoda że nie ma zdań a tak poza tym to fajna strona

Nie kumata862 • 2019-08-06 19:59:23

Motyw danse macabre

Sorry, ale to nie jest o tańcu śmierci, tylko o "Rozmowie..." w ogóle.

Andr • 2019-07-30 10:51:02

Administracja rządowa

Mądre to

Zbyszek • 2019-07-27 08:44:21

Kościół katolicki a inne religie

Sekta według przeciwników stosowania tego terminu jest elementem pseudonauki, nie uznawa...

uczen Jezusa • 2019-07-30 10:16:33