Równania z wartościa bezwzględną, to takie, w których zmienna zawarta jest wewnątrz nawiasów oznaczających wartość bezwzględną.
Równania z wartością bezwzględną mają postać ogólną \(| ax +b| = c\), co może być również zapisane jako \(|ax + b| -c = 0\).
Rozwiązania takiego równania są dwa:
\(x_{1} = \frac{c-b}{a} \), \(x_{2} = -\frac{c+b}{a} \),
Co wynika z następujących rozważań:
Z definicji wartości bezwzględnej wiemy, że \(|a| = a \) lub \(|a| = -a\) - pierwszy przypadek ma miejsce wtedy, gdy \(a\) jest nieujemne, drugi natomiast przeciwnie - gdy \(a\) jest liczbą mniejszą od zera.
Zatem dla \(|ax + b|\) otrzymujemy bądź \(ax + b\) bądź też \(-ax - b\). Jeśli \(|ax + b| = c\), to mamy dwa przypadki:
\(ax + b = c\) lub \(-ax - b = c\). Przekształćmy oba równania:
\(ax = c -b\), z czego wynika, że \(x = \frac{c-b}{a} \), a równocześnie \(-ax = c +b\), co prowadzi do \(x = -\frac{c+b}{a} \).
Pierwsze z rozwiązań oznaczamy jako \(x_{1}\), zaś drugie \(x_{2}\).
W przypadku równań z wartością bezwzględną, postępujemy zatem w następujący sposób - znosząc moduł z wyrażenia ze zmienną rozważamy dwie opcje - pierwszą, gdy wyrażenie było dodatnie oraz drugą - gdy było ujemne, a zatem zmieniamy jego znak.
Przykład:
\(|4x - 2| = 8\)
I przypadek:
\(4x - 2 = 8\)
\(4x = 10\)
\(x = \frac{10}{4} \)
II przypadek:
\(-4x + 2 = 8\)
\(-4x = 6\)
\(x = - \frac{6}{4} \)
Rozwiązaniami równania są liczby \(x_{1} = \frac{10}{4} \) oraz \(x_{2} = - \frac{6}{4} \). Jak łatwo możemy sprawdzić, obie te liczby spełniają to równanie, tj. po wstawieniu ich za zmienną \(x\) otrzymujemy równość.
Zadanie:
Rozwiązać poniższe równania.
a) \(|2x - 7| = 9\),
b) \(|3x + 5| = 6\),
c) \(|7x - 12| = 30\).
Odpowiedzi:
a) \(x_{1} = 8\), \(x_{2} = -1\),
b) \(x_{1} = \frac{1}{3} \), \(x_{2} = - \frac{11}{3} \),
c) \(x_{1} = 6\), \(x_{2} = - \frac{18}{7} \).