Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartościa bezwzględną, to takie, w których zmienna zawarta jest wewnątrz nawiasów oznaczających wartość bezwzględną. 

 

Równania z wartością bezwzględną mają postać ogólną | ax +b| = c, co może być również zapisane jako |ax + b| -c = 0.

Rozwiązania takiego równania są dwa:

x_{1} =  \frac{c-b}{a} , x_{2} =  -\frac{c+b}{a} ,

Co wynika z następujących rozważań:

Z definicji wartości bezwzględnej wiemy, że |a| = a  lub |a| = -a - pierwszy przypadek ma miejsce wtedy, gdy a jest nieujemne, drugi natomiast przeciwnie - gdy a jest liczbą mniejszą od zera.

Zatem dla |ax + b| otrzymujemy bądź ax + b bądź też -ax - b. Jeśli |ax + b| = c, to mamy dwa przypadki:

ax + b = c lub -ax - b = c. Przekształćmy oba równania:

ax = c -b, z czego wynika, że x =  \frac{c-b}{a} , a równocześnie -ax = c +b, co prowadzi do x =  -\frac{c+b}{a} .

Pierwsze z rozwiązań oznaczamy jako x_{1}, zaś drugie x_{2}

 

W przypadku równań z wartością bezwzględną, postępujemy zatem w następujący sposób - znosząc moduł z wyrażenia ze zmienną rozważamy dwie opcje - pierwszą, gdy wyrażenie było dodatnie oraz drugą - gdy było ujemne, a zatem zmieniamy jego znak.

 

Przykład:

|4x - 2| = 8

I przypadek:

4x - 2 = 8

4x = 10

x =  \frac{10}{4}

II przypadek:

-4x + 2 = 8

-4x  = 6

x = -  \frac{6}{4}  

Rozwiązaniami równania są liczby x_{1} =  \frac{10}{4}  oraz x_{2} = -  \frac{6}{4} . Jak łatwo możemy sprawdzić, obie te liczby spełniają to równanie, tj. po wstawieniu ich za zmienną x otrzymujemy równość.

 

Zadanie:

Rozwiązać poniższe równania.

a) |2x - 7| = 9,

b) |3x + 5| = 6,

c) |7x - 12| = 30.

 

Odpowiedzi:

a) x_{1} = 8x_{2} = -1,

b) x_{1} =  \frac{1}{3} x_{2} =  - \frac{11}{3} ,

c) x_{1} = 6, x_{2} =  - \frac{18}{7} .

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
Bardzo przydatne informacje. Przeczytałam z zainteresowaniem.
• 2022-08-13 18:28:30
Ola jest fajną dziewczyną i lubi się bawić z dziećmi i jest w ogóle fajną kobietą....
• 2022-08-09 19:00:20
Rosja nadal jest państwem totalitarnym, a Polska sie nim staje.
• 2022-08-02 19:37:03
Ef. 6:12 [ 11 - 20]. 1Tes.2:13 ; 4: 8..... w tedy i dziś. Łuk.10: 16 .....
• 2022-08-01 16:36:20
To bardzo ciekawa historia godna uwagi każdego.
• 2022-07-12 15:12:25