Równania wymierne

Aby rozwiązać równanie wymierne należy tak je przekształcić, by sprowadzić je do równania wielomianowego/kwadratowego/liniowego. W tym celu przenosimy wszystkie pojawiające się w równaniu ułamki algebraiczne na jedną stronę równania a następnie sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Musimy też pamiętać o tym, by wyznaczyć dziedzinę wyrażeń występujących w równaniu na początku i jeśli w ostatecznym rozwiązaniu dostaniemy któreś z rozwiązań wyrzuconych z dziedziny - nie możemy go uwzględniać.

Najlepiej jest prześledzić to na przykładzie.

Przykład:

Rozwiążemy następujące równanie wymierne:

 \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{x ^{2} -1} = \frac{5}{x+1}

Na początek wyznaczmy jego dziedzinę. Dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych zerujących mianowniki, a zatem D:x\in\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}. Mając dziedzinę możemy przystąpić do właściwego rozwiązywania równania.

Rozwiązywanie zacznijmy od przeniesienia wszystkich ułamków algebraicznych na jedną stronę.

 \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{x ^{2} -1} - \frac{5}{x+1} =0

Chcemy sprowadzić wszystkie ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu moglibyśmy pomnożyć przez siebie występujące w tych ułamkach mianowniki ale można to zrobić sprytniej. Pomyślmy o tym tak jak o znajdowaniu wspólnego mianownika dla ułamków  \frac{1}{2} ,  \frac{1}{3} i  \frac{1}{6} . Moglibyśmy jako mianownik przyjąć 2 \cdot 3 \cdot 6, ale ponieważ 6 samo w sobie to 2 \cdot 3 wystarczy, że za mianownik przyjmiemy szóstkę właśnie. W przypadku ułamków algebraicznych może zdarzyć się podobna sytuacja - rozpiszmy w tym celu mianownik środkowego ułamka korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a ^{2} -b ^{2} =(a-b)(a+b).

 \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{(x -1)(x+1)} - \frac{5}{x+1} =0

A zatem mianownik środkowego ułamka jest iloczynem mianowników pozostałych ułamków. Taki też będzie wspólny mianownik. Domnóżmy pozostałe ułamki odpowiednio przez x+1 oraz x-1.

 \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2x-7}{(x -1)(x+1)} - \frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)} =0

Zapiszmy teraz wszystko na jednej kresce ułamkowej.

 \frac{x(x+1)+ 2x-7 - 5(x-1)}{(x+1)(x-1)} = 0

Teraz pozbądźmy się nawiasów w liczniku wymnażając odpowiednio.

 \frac{x^2+x+ 2x-7 - 5x+5}{(x+1)(x-1)} = 0

Otrzymujemy następujące równanie:


 \frac{x^2-2x-2}{(x+1)(x-1)} = 0

Które jest prawdziwe dla wszystkich x-ów należących do dziedziny, które zerują licznik, a zatem pomijamy mianownik i otrzymujemy równanie kwadratowe.


x^2-2x-2 = 0

Rozwiążemy je licząc  \Delta oraz znajdując jego pierwiastki.

 \Delta =(-2) ^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-2)=4+8=12

Delta jest dodatnia, zatem równanie ma dwa rozwiązania.

x _{1} = \frac{2- \sqrt{12} }{2} 
=\frac{2- \sqrt{4 \cdot 3} }{2} 
=\frac{2- 2\sqrt{ 3} }{2} 
=\frac{2(1- \sqrt{ 3}) }{2} 
=1- \sqrt{ 3}

x _{2} = \frac{2+ \sqrt{12} }{2} 
=\frac{2+ \sqrt{4 \cdot 3} }{2} 
=\frac{2+ 2\sqrt{ 3} }{2} 
=\frac{2(1+ \sqrt{ 3}) }{2} 
=1+ \sqrt{ 3}

Żadne z rozwiązań nie zostało wykluczone z dziedziny więc możemy napisać ostatecznie x\in\{1- \sqrt{3} ,1+ \sqrt{3} \}.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 3 =
Ostatnio komentowane
Czyli,powiedzenie Polak Węgier dwa bratanki,nie jak się nie odnoszą względem pochodzen...
• 2022-06-16 19:03:58
ekstra
• 2022-06-18 17:12:40
ok
• 2022-06-08 15:52:28
dzięks
• 2022-06-06 19:26:13
Ale proste
• 2022-06-06 14:23:48