Aby rozwiązać równanie wymierne należy tak je przekształcić, by sprowadzić je do równania wielomianowego/kwadratowego/liniowego. W tym celu przenosimy wszystkie pojawiające się w równaniu ułamki algebraiczne na jedną stronę równania a następnie sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Musimy też pamiętać o tym, by wyznaczyć dziedzinę wyrażeń występujących w równaniu na początku i jeśli w ostatecznym rozwiązaniu dostaniemy któreś z rozwiązań wyrzuconych z dziedziny - nie możemy go uwzględniać.
Najlepiej jest prześledzić to na przykładzie.
Przykład:
Rozwiążemy następujące równanie wymierne:
\( \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{x ^{2} -1} = \frac{5}{x+1} \)
Na początek wyznaczmy jego dziedzinę. Dziedziną będą wszystkie liczby rzeczywiste oprócz tych zerujących mianowniki, a zatem \(D:x\in\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}\). Mając dziedzinę możemy przystąpić do właściwego rozwiązywania równania.
Rozwiązywanie zacznijmy od przeniesienia wszystkich ułamków algebraicznych na jedną stronę.
\( \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{x ^{2} -1} - \frac{5}{x+1} =0\)
Chcemy sprowadzić wszystkie ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu moglibyśmy pomnożyć przez siebie występujące w tych ułamkach mianowniki ale można to zrobić sprytniej. Pomyślmy o tym tak jak o znajdowaniu wspólnego mianownika dla ułamków \( \frac{1}{2} \), \( \frac{1}{3} \) i \( \frac{1}{6} \). Moglibyśmy jako mianownik przyjąć \(2 \cdot 3 \cdot 6\), ale ponieważ \(6\) samo w sobie to \(2 \cdot 3\) wystarczy, że za mianownik przyjmiemy szóstkę właśnie. W przypadku ułamków algebraicznych może zdarzyć się podobna sytuacja - rozpiszmy w tym celu mianownik środkowego ułamka korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \(a ^{2} -b ^{2} =(a-b)(a+b)\).
\( \frac{x}{x-1} + \frac{2x-7}{(x -1)(x+1)} - \frac{5}{x+1} =0\)
A zatem mianownik środkowego ułamka jest iloczynem mianowników pozostałych ułamków. Taki też będzie wspólny mianownik. Domnóżmy pozostałe ułamki odpowiednio przez \(x+1\) oraz \(x-1\).
\( \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{2x-7}{(x -1)(x+1)} - \frac{5(x-1)}{(x+1)(x-1)} =0\)
Zapiszmy teraz wszystko na jednej kresce ułamkowej.
\( \frac{x(x+1)+ 2x-7 - 5(x-1)}{(x+1)(x-1)} = 0\)
Teraz pozbądźmy się nawiasów w liczniku wymnażając odpowiednio.
\( \frac{x^2+x+ 2x-7 - 5x+5}{(x+1)(x-1)} = 0\)
Otrzymujemy następujące równanie:
\( \frac{x^2-2x-2}{(x+1)(x-1)} = 0\)
Które jest prawdziwe dla wszystkich \(x\)-ów należących do dziedziny, które zerują licznik, a zatem pomijamy mianownik i otrzymujemy równanie kwadratowe.
\( x^2-2x-2 = 0\)
Rozwiążemy je licząc \( \Delta \) oraz znajdując jego pierwiastki.
\( \Delta =(-2) ^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-2)=4+8=12\)
Delta jest dodatnia, zatem równanie ma dwa rozwiązania.
\(x _{1} = \frac{2- \sqrt{12} }{2} =\frac{2- \sqrt{4 \cdot 3} }{2} =\frac{2- 2\sqrt{ 3} }{2} =\frac{2(1- \sqrt{ 3}) }{2} =1- \sqrt{ 3}\)
\(x _{2} = \frac{2+ \sqrt{12} }{2} =\frac{2+ \sqrt{4 \cdot 3} }{2} =\frac{2+ 2\sqrt{ 3} }{2} =\frac{2(1+ \sqrt{ 3}) }{2} =1+ \sqrt{ 3}\)
Żadne z rozwiązań nie zostało wykluczone z dziedziny więc możemy napisać ostatecznie \(x\in\{1- \sqrt{3} ,1+ \sqrt{3} \}\).