Równania wykładnicze i logarytmiczne

Równaniem wykładniczym nazywamy każde równanie, w którym zmienna znajduje się w wykładniku potęgi. Rozwiązując takie równania korzystamy z praw działania na potęgach oraz własności logarytmów.

Równaniem logarytmicznym nazywamy każde równanie, w którym zmienna jest logarytmowana. Rozwiązując te równania korzystamy z praw działania na logarytmach.

 

Przykład:

$2^{x+3} + 2^{x} = 54$

$2^{x} \cdot 2^{3} + 2^{x} = 54$

$8 \cdot 2^{x} + 2^{x} = 54$

$9 \cdot 2^{x}=54$

$2^{x} = \frac{54}{9} = 6$

$log_{2} 2^{x} = log_{2} 6$

$x = log_{2}6$

 

Czasami zmienna znajduje się w wykładniku dwóch różnych potęg, wówczas dążymy do utworzenia ilorazu tychże potęg.

 

Przykład:

$6^{x} = 4^{x + 3}$

$6^{x} = 4^{3} \cdot 4^{x}$

$\frac{6^{x}}{4^{x}} = 4^{3}$

$( \frac{6}{4} )^{x} = 4^{3}$

$x = log_{ \frac{6}{4} } 4^{3} = 3 log_{ \frac{6}{4} } 4$

 

W przypadku równań logarytmicznych pamiętać musimy o tym, że liczba logarytmowana musi być dodatnia - tj. całe wyrażenie ze zmienną, które znajduje się pod znakiem logarytmu, musi spełniać warunek dodatniości.

 

Przykład:

$log_{2}(x+1)+log_{2}(x-1)=3$ - oba wyrażenia logarytmowane (tj. $x+1$ oraz $x-1$) muszą być dodatnie, zatem $x \ge 1$.

$log_{2}((x+1)(x-1))=3$

$log_{2}(x^{2}-1)=3 = log_{2}8$

$x^{2} -1 = 8$

$x^{2} = 9$, zatem $x = 3$ lub $x = -3$, ale druga odpowiedź jest sprzeczna z założeniem, zatem $x = 3$.

 

W niektórych równaniach logarytmicznych zmienna pojawia się także jako podstawa logarytmu. Wówczas korzystamy z definicji logarytmu.

 

Przykład:

$log_{x}(4x-4) = 2 \Leftrightarrow x^{2} = 4x-4$

Równanie zostało sprowadzone do równania kwadratowego.

$x^{2} - 4x + 4 = 0$

Po przekształceniu ma ono postać $(x-2)^{2} = 0$, zatem jego rozwiązaniem jest liczba $x = 2$.

 

Kiedy logarytm znajduje się w wykładniku potęgi staramy się zlogarytmować obie strony, by - korzystając ze wzoru na logarytm potęgi - przekształcić równanie.

 

Przykład:

$x^{logx} = 10$

$logx^{logx} = log10$

$logx \cdot log x = 1$

Zatem $log x = 1$ lub $log x = -1$, czyli $x = 10$ lub $x = \frac{1}{10}$.

 

Zadania:

1. Rozwiązać równania wykładnicze:

a) $64^{x} - 4 \cdot 8^{x} + 4 = 0$,

b) $8^{x} - 4^{x +1} + 2^{x+2} = 0$,

c) $9^{ \sqrt{x} } - 8 \cdot 3^{ \sqrt{x} } - 9 = 0$. 

2. Rozwiązać równania logarytmiczne:

a) $log_{3}(x^{2} -8) = 2$,

b) $log_{ \frac{1}{2} }(x^{2} -x) = -1$,

c) $log_{2}(9x - x^{2}) = 3$.

 

Odpowiedzi:

1.

a) $x = \frac{1}{3}$,

b) $x = 1$,

c) $x = 4$. 

2.

a) $x_{1} = -\sqrt{17}$, $x_{2} = \sqrt{17}$,

b) $x_{1} = -1$, $x_{2} = 2$,

c) $x_{1} = 1$, $x_{2} = 8$.