Równaniem wykładniczym nazywamy każde równanie, w którym zmienna znajduje się w wykładniku potęgi. Rozwiązując takie równania korzystamy z praw działania na potęgach oraz własności logarytmów.
Równaniem logarytmicznym nazywamy każde równanie, w którym zmienna jest logarytmowana. Rozwiązując te równania korzystamy z praw działania na logarytmach.
Przykład:
Czasami zmienna znajduje się w wykładniku dwóch różnych potęg, wówczas dążymy do utworzenia ilorazu tychże potęg.
Przykład:
W przypadku równań logarytmicznych pamiętać musimy o tym, że liczba logarytmowana musi być dodatnia - tj. całe wyrażenie ze zmienną, które znajduje się pod znakiem logarytmu, musi spełniać warunek dodatniości.
Przykład:
- oba wyrażenia logarytmowane (tj.
oraz
) muszą być dodatnie, zatem
.
, zatem
lub
, ale druga odpowiedź jest sprzeczna z założeniem, zatem
.
W niektórych równaniach logarytmicznych zmienna pojawia się także jako podstawa logarytmu. Wówczas korzystamy z definicji logarytmu.
Przykład:
Równanie zostało sprowadzone do równania kwadratowego.
Po przekształceniu ma ono postać , zatem jego rozwiązaniem jest liczba
.
Kiedy logarytm znajduje się w wykładniku potęgi staramy się zlogarytmować obie strony, by - korzystając ze wzoru na logarytm potęgi - przekształcić równanie.
Przykład:
Zatem lub
, czyli
lub
.
Zadania:
1. Rozwiązać równania wykładnicze:
a) ,
b) ,
c) .
2. Rozwiązać równania logarytmiczne:
a) ,
b) ,
c) .
Odpowiedzi:
1.
a) ,
b) ,
c) .
2.
a) ,
,
b) ,
,
c) ,
.