Równaniem wykładniczym nazywamy każde równanie, w którym zmienna znajduje się w wykładniku potęgi. Rozwiązując takie równania korzystamy z praw działania na potęgach oraz własności logarytmów.
Równaniem logarytmicznym nazywamy każde równanie, w którym zmienna jest logarytmowana. Rozwiązując te równania korzystamy z praw działania na logarytmach.
Przykład:
\(2^{x+3} + 2^{x} = 54\)
\(2^{x} \cdot 2^{3} + 2^{x} = 54\)
\(8 \cdot 2^{x} + 2^{x} = 54\)
\(9 \cdot 2^{x}=54\)
\(2^{x} = \frac{54}{9} = 6\)
\(log_{2} 2^{x} = log_{2} 6\)
\(x = log_{2}6\)
Czasami zmienna znajduje się w wykładniku dwóch różnych potęg, wówczas dążymy do utworzenia ilorazu tychże potęg.
Przykład:
\(6^{x} = 4^{x + 3}\)
\(6^{x} = 4^{3} \cdot 4^{x}\)
\( \frac{6^{x}}{4^{x}} = 4^{3}\)
\(( \frac{6}{4} )^{x} = 4^{3} \)
\(x = log_{ \frac{6}{4} } 4^{3} = 3 log_{ \frac{6}{4} } 4\)
W przypadku równań logarytmicznych pamiętać musimy o tym, że liczba logarytmowana musi być dodatnia - tj. całe wyrażenie ze zmienną, które znajduje się pod znakiem logarytmu, musi spełniać warunek dodatniości.
Przykład:
\(log_{2}(x+1)+log_{2}(x-1)=3\) - oba wyrażenia logarytmowane (tj. \(x+1\) oraz \(x-1\)) muszą być dodatnie, zatem \(x \ge 1\).
\(log_{2}((x+1)(x-1))=3\)
\(log_{2}(x^{2}-1)=3 = log_{2}8\)
\(x^{2} -1 = 8\)
\(x^{2} = 9\), zatem \(x = 3\) lub \(x = -3\), ale druga odpowiedź jest sprzeczna z założeniem, zatem \(x = 3\).
W niektórych równaniach logarytmicznych zmienna pojawia się także jako podstawa logarytmu. Wówczas korzystamy z definicji logarytmu.
Przykład:
\(log_{x}(4x-4) = 2 \Leftrightarrow x^{2} = 4x-4\)
Równanie zostało sprowadzone do równania kwadratowego.
\(x^{2} - 4x + 4 = 0\)
Po przekształceniu ma ono postać \((x-2)^{2} = 0\), zatem jego rozwiązaniem jest liczba \(x = 2\).
Kiedy logarytm znajduje się w wykładniku potęgi staramy się zlogarytmować obie strony, by - korzystając ze wzoru na logarytm potęgi - przekształcić równanie.
Przykład:
\(x^{logx} = 10\)
\(logx^{logx} = log10\)
\(logx \cdot log x = 1\)
Zatem \(log x = 1\) lub \(log x = -1\), czyli \(x = 10\) lub \(x = \frac{1}{10} \).
Zadania:
1. Rozwiązać równania wykładnicze:
a) \(64^{x} - 4 \cdot 8^{x} + 4 = 0\),
b) \(8^{x} - 4^{x +1} + 2^{x+2} = 0\),
c) \(9^{ \sqrt{x} } - 8 \cdot 3^{ \sqrt{x} } - 9 = 0\).
2. Rozwiązać równania logarytmiczne:
a) \(log_{3}(x^{2} -8) = 2\),
b) \(log_{ \frac{1}{2} }(x^{2} -x) = -1\),
c) \(log_{2}(9x - x^{2}) = 3\).
Odpowiedzi:
1.
a) \(x = \frac{1}{3} \),
b) \(x = 1\),
c) \(x = 4\).
2.
a) \(x_{1} = -\sqrt{17} \), \(x_{2} = \sqrt{17} \),
b) \(x_{1} = -1\), \(x_{2} = 2\),
c) \(x_{1} = 1\), \(x_{2} = 8\).