Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci \(ax ^{2} + bx + c = 0 Równania kwadratowe delta wzór\), gdzie \(x\) jest zmienną, \(a\), \(b\) i \(c\) parametrami, a do tego \(a\) musi być różne od zera.
Przykład:
\(x ^{2} -4x + 5 = 0 Równania kwadratowe delta wzór\), \(x^{2} + 6x - 3 = 0 Równania kwadratowe delta wzór\), \(x^{2} - x + 6 = 0 Równania kwadratowe delta wzór\), itd.
Delta i ilość rozwiązań równania
Jeśli chodzi o rozwiązania, to są trzy możliwe przypadki. Równanie kwadratowe może mieć dwa różne rozwiązania, jedno albo żadnego. Aby określić, z którym przypadkiem mamy do czynienia należy posłużyć się tzw. wyróżnikiem równania kwadratowego, potocznie nazywanym deltą - od greckiej literki, używanej do jego oznaczenia.
Deltę liczymy w następujący sposób: \( \Delta = b^{2} - 4ac Równania kwadratowe delta wzór\).
Jeśli \(Równania kwadratowe delta wzór\) jest ujemna, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań. Jeśli jest równa zero - ma jedno rozwiązanie, natomiast jeśli jest dodatnia - istnieją dokładnie dwa rozwiązania równania.
Przykład:
\(x ^{2} -4x + 5 = 0 Równania kwadratowe delta wzór\),
\( \Delta = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 Równania kwadratowe delta wzór\) - delta jest ujemna, zatem równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
\(x^{2} + 6x - 3 = 0 Równania kwadratowe delta wzór\),
\( \Delta = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48 Równania kwadratowe delta wzór\) - delta dodania, więc równanie ma dwa rozwiązania.
Rozwiązanie równania
Kiedy policzymy deltę i określimy ilość rozwiązań danego równania, pozostaje już tylko znaleźć same rozwiązania - o ile oczywiście istnieją. Wzory na ich znajdowanie są następujące:
\(x_{1} = \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} Równania kwadratowe delta wzór\), \(x_{2} = \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} Równania kwadratowe delta wzór\).
Przykład:
\(x^{2} + 6x - 3 = 0 Równania kwadratowe delta wzór\),
\( \Delta = 48\), \( \sqrt{ \Delta } = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3} Równania kwadratowe delta wzór\)
\(x_{1} = \frac{-6- 4\sqrt{3 } }{2} = -3-2 \sqrt{3} Równania kwadratowe delta wzór\)
\(x_{2} = \frac{-6+ 4\sqrt{3 } }{2} = -3+2 \sqrt{3} Równania kwadratowe delta wzór\)
W przypadku delty zerowej korzystamy z tych samych wzorów co dla dodatniej delty - w tym przypadku oba wzory dają po prostu ten sam wynik.
Zadania:
Rozwiązać równania (tj. sprawdzić czy równanie ma rozwiązania, a jeśli tak - znaleźć je):
a) \(24x^{2} + x = 10\),
b) \(-12x^2 + 43x - 35 = 0\),
c) \(x^{2} + x - 6 = 0\),
d) \(x^{2} + 4x + 1 + 2 \sqrt{2} =0\),
e) \(x^{2} - 4x = -4\).
Odpowiedzi:
a) \(x_{1} = \frac{-2}{3} \), \(x_{2} = \frac{5}{8} \),
b) \(x_{1} = \frac{5}{4} \), \(x_{2} = \frac{7}{3} \),
c) \(x_{1} = -3\), \(x_{2} = 2\),
d) \(x_{1} = - \sqrt{2} -1\), \(x_{1} = - 3 + \sqrt{2}\),
e) \(x_{0} = 2\).