Równania kwadratowe

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci $ax ^{2} + bx + c = 0 Równania kwadratowe delta wzór$, gdzie $x$ jest zmienną, $a$, $b$ i $c$ parametrami, a do tego  $a$ musi być różne od zera.

Przykład:

$x ^{2} -4x + 5 = 0 Równania kwadratowe delta wzór$, $x^{2} + 6x - 3 = 0 Równania kwadratowe delta wzór$, $x^{2} - x + 6 = 0 Równania kwadratowe delta wzór$, itd.

Delta i ilość rozwiązań równania

Jeśli chodzi o rozwiązania, to są trzy możliwe przypadki. Równanie kwadratowe może mieć dwa różne rozwiązania, jedno albo żadnego. Aby określić, z którym przypadkiem mamy do czynienia należy posłużyć się tzw. wyróżnikiem równania kwadratowego, potocznie nazywanym deltą - od greckiej literki, używanej do jego oznaczenia.

Deltę liczymy w następujący sposób: $\Delta = b^{2} - 4ac Równania kwadratowe delta wzór$.

Jeśli $Równania kwadratowe delta wzór$ jest ujemna, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań. Jeśli jest równa zero - ma jedno rozwiązanie, natomiast jeśli jest dodatnia - istnieją dokładnie dwa rozwiązania równania.

Przykład:

$x ^{2} -4x + 5 = 0 Równania kwadratowe delta wzór$,

$\Delta = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 Równania kwadratowe delta wzór$ - delta jest ujemna, zatem równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

$x^{2} + 6x - 3 = 0 Równania kwadratowe delta wzór$,

$\Delta = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 36 + 12 = 48 Równania kwadratowe delta wzór$ - delta dodania, więc równanie ma dwa rozwiązania.

 Rozwiązanie równania

Kiedy policzymy deltę i określimy ilość rozwiązań danego równania, pozostaje już tylko znaleźć same rozwiązania - o ile oczywiście istnieją. Wzory na ich znajdowanie są następujące:

$x_{1} = \frac{-b- \sqrt{ \Delta } }{2a} Równania kwadratowe delta wzór$, $x_{2} = \frac{-b+ \sqrt{ \Delta } }{2a} Równania kwadratowe delta wzór$.

Przykład:

$x^{2} + 6x - 3 = 0 Równania kwadratowe delta wzór$,

$\Delta = 48$, $\sqrt{ \Delta } = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3} Równania kwadratowe delta wzór$

$x_{1} = \frac{-6- 4\sqrt{3 } }{2} = -3-2 \sqrt{3} Równania kwadratowe delta wzór$

$x_{2} = \frac{-6+ 4\sqrt{3 } }{2} = -3+2 \sqrt{3} Równania kwadratowe delta wzór$

 

W przypadku delty zerowej korzystamy z tych samych wzorów co dla dodatniej delty - w tym przypadku oba wzory dają po prostu ten sam wynik.

 

Zadania:

Rozwiązać równania (tj. sprawdzić czy równanie ma rozwiązania, a jeśli tak - znaleźć je):

a) $24x^{2} + x = 10$,

b) $-12x^2 + 43x - 35 = 0$,

c) $x^{2} + x - 6 = 0$,

d) $x^{2} + 4x + 1 + 2 \sqrt{2} =0$,

e) $x^{2} - 4x = -4$. 

 

Odpowiedzi:

a) $x_{1} = \frac{-2}{3}$, $x_{2} = \frac{5}{8}$,

b) $x_{1} = \frac{5}{4}$, $x_{2} = \frac{7}{3}$,

c) $x_{1} = -3$, $x_{2} = 2$,

d) $x_{1} = - \sqrt{2} -1$, $x_{1} = - 3 + \sqrt{2}$,

e) $x_{0} = 2$.