Jeśli dane zdarzenie może zakończyć się efektami \(x_1,...,x_n\) przy czym każdy z efektów określa odpowiednie prawdopodobieństwo \(p_1,...,p_n\) to wartością oczekiwaną tej sytuacji nazywamy liczbę \(x_1p_1 +...+x_np_n\).
Innymi słowy zatem wynik wielowariantowej sytuacji jest średnią możliwych wyników ważoną ze względu na prawdopodobieństwa ich wystąpienia.
Ten model probabilistyczny doskonale sprawdza się we wszelkich kontekstach ilościowych, a zwłaszcza finansowych. Jeśli np. cena pewnego produktu waha się, przyjmując trzy razy w tygodniu wartość \(15\) zł, dwa razy \(5\) zł, raz \(10\) zł i raz \(20\) zł, wówczas mówimy o jego oczekiwanej cenie równej \(\frac 37 \cdot 15+\frac 27 \cdot 5 +\frac 17 \cdot 10+\frac 17 \cdot 20 = \frac{45+10+10+20}7= \frac {85}7 \approx 12,14\) zł. Zatem jeśli któregoś dnia kupimy ów produk za \(15\) zł będziemy mogli czuć się prawie \(3\) zł stratni, kiedy natomiast znów zobaczymy go w cenie \(10\) zł - wówczas należałoby uznać, że to świetna okazja.
Pojęcie wartości oczekiwanej jest wykorzystywane w teorii decyzji oraz teorii gier jako jedno z podstawowych kryteriów dokonywania wyborów strategicznych. Wartość oczekiwana bywa także nazywana nadzieją matematyczną.
Zadanie:
Pewna gra polega na rzucie kostką. Gracz wygrywa \(10\) zł jeśli wypadnie \(2\) lub \(3\), \(20\) zł jeśli wypadnie \(5\) oraz płaci karę \(25\) zł jeśli wypadnie \(4\). W pozostałych przypadkach jego wypłata wynosi \(0\). Jaka jest wartość oczekiwana trzech iteracji (iteracja to inaczej powtórzenie) tej gry?
Odpowiedzi:
Wartość oczekiwana tej gry wynosi \(7,50\) zł.