Związki miarowe w trójkącie prostokątnym - "30-60-90", "45-45-90" równoramienny

W trójkącie prostokątnym zachodzą pewne związki między miarami kątów, a długościami jego boków.

Interesować nas będą w szczególności dwa trójkąty prostokątne - trójkąt o kątach miar 30-60-90 oraz trójkąt o kątach miar 45-45-90.

Trójkąt "30-60-90"

W tym trójkącie boki mają następujące długości: a, a \sqrt{3} , 2a.

Zwróćmy uwagę, że trójkąt taki powstaje poprzez przecięcie trójkąta równobocznego na pół (wzdłuż jednej z wysokości). Wtedy jeden z jego kątów zachowuje miarę 60 ^{ \circ } , kolejny ma miarę 30 ^{ \circ } (60 ^{ \circ } przecięte na pół), ostatni zaś - jako kąt między dawnym bokiem a wysokością - musi być kątem prostym.

Jeśli bok początkowego trójkąta równobocznego miał długość 2a to jego połowa mieć będzie długość a. Z kolei korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego można wyliczyć długość ostatniego boku - a \sqrt{3} . A zatem w trójkącie o kątach 30 ^{ \circ } , 60 ^{ \circ } 90 ^{ \circ } boki będą mieć długości jak na poniższym rysunku.

W jaki sposób zapamiętać, który bok ma jaką długość?

Zauważmy, że zarówno boki, jak i kąty, możemy uporządkować monotonicznie (rosnąco lub malejąco). Uporządkujmy kąty rosnąco: 30 ^{ \circ } < 60 ^{ \circ } < 90 ^{ \circ } .

Tak samo zróbmy z bokami: a < a \sqrt{3} < 2a (ponieważ  \sqrt{3}  \approx 1,73<2).

Mniejsze kąty odpowiadać będą krótszym bokom, itd. Naprzeciwko najmniejszego kąta (30 ^{ \circ } ) leżeć musi najkrótszy bok (a), naprzeciw kąta prostego znajdować się będzie najdłuższy bok (2a), kąt pośredni z kolei wyznaczy położenie boku o długości a \sqrt{3} .

Trójkąt "45-45-90"

Drugim szczególnym typem trójkąta jest trójkąt prostokątny równoramienny o kątach przy podstawie 45 ^{ \circ } .

Trójkąt ten powstaje poprzez przecięcie kwadratu przekątną. Długość przekątnej kwadratu o boku a wynosi a \sqrt{2} a zatem trójkąt "45-45-90" mieć będzie boki takich właśnie długości.

W jaki sposób zapamiętać, w którym trójkącie ma być  \sqrt{2} , a w którym  \sqrt{3} ?

Można kojarzyć to w ten sposób: trójkąt 30-60-90 ma trzy różne kąty, więc  \sqrt{3} , z kolei trójkąt 45-45-90 ma dwa różne kąty, więc  \sqrt{2} .

 

Przykład:

1) Jakie będą długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 8 oraz kącie ostrym 30 ^{ \circ } ?

Naprzeciw kąta prostego znajduje się bok długości 2a - w naszym przykładzie 8. Stąd a=4 leżeć będzie naprzeciwko 30 ^{ \circ } . Z kolei dłuższa przyprostokątna mieć będzie długość a \sqrt{3} =4 \sqrt{3} .

 

2) Znaleźć pozostałe boki trójkąta:

Jest to trójkąt o kątach 45-45-90, a zatem równoramienny prostokątny - jego drugie ramię mieć będzie taką samą długość jak pierwsze, a więc 24 \sqrt{3} (ozn. a). Przeciwprostokątna z kolei ma długość a \sqrt{2} , a więc 24 \sqrt{3}  \cdot  \sqrt{2} =24 \sqrt{6} .

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 1 =
Ostatnio komentowane
Super przydało mi się to do zadania z Religii
• 2022-09-29 12:48:27
Dziękuję, pomogło mi w nauce :)
• 2022-09-29 12:05:27
Bardzo pomocny
• 2022-09-29 09:23:04
git
• 2022-09-27 14:46:23
Ok
• 2022-09-27 12:59:27