W trójkącie prostokątnym zachodzą pewne związki między miarami kątów, a długościami jego boków.
Interesować nas będą w szczególności dwa trójkąty prostokątne - trójkąt o kątach miar 30-60-90 oraz trójkąt o kątach miar 45-45-90.
Trójkąt "30-60-90"
W tym trójkącie boki mają następujące długości: \(a\), \(a \sqrt{3} \), \(2a\).
Zwróćmy uwagę, że trójkąt taki powstaje poprzez przecięcie trójkąta równobocznego na pół (wzdłuż jednej z wysokości). Wtedy jeden z jego kątów zachowuje miarę \(60 ^{ \circ } \), kolejny ma miarę \(30 ^{ \circ } \) (\(60 ^{ \circ } \) przecięte na pół), ostatni zaś - jako kąt między dawnym bokiem a wysokością - musi być kątem prostym.
Jeśli bok początkowego trójkąta równobocznego miał długość \(2a\) to jego połowa mieć będzie długość \(a\). Z kolei korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego można wyliczyć długość ostatniego boku - \(a \sqrt{3} \). A zatem w trójkącie o kątach \(30 ^{ \circ } \), \(60 ^{ \circ } \) i \(90 ^{ \circ } \) boki będą mieć długości jak na poniższym rysunku.
W jaki sposób zapamiętać, który bok ma jaką długość?
Zauważmy, że zarówno boki, jak i kąty, możemy uporządkować monotonicznie (rosnąco lub malejąco). Uporządkujmy kąty rosnąco: \(30 ^{ \circ } \) < \(60 ^{ \circ } \) < \(90 ^{ \circ } \).
Tak samo zróbmy z bokami: \(a\) < \(a \sqrt{3} \) < \(2a\) (ponieważ \( \sqrt{3} \approx 1,73<2\)).
Mniejsze kąty odpowiadać będą krótszym bokom, itd. Naprzeciwko najmniejszego kąta (\(30 ^{ \circ } \)) leżeć musi najkrótszy bok (\(a\)), naprzeciw kąta prostego znajdować się będzie najdłuższy bok (\(2a\)), kąt pośredni z kolei wyznaczy położenie boku o długości \(a \sqrt{3} \).
Trójkąt "45-45-90"
Drugim szczególnym typem trójkąta jest trójkąt prostokątny równoramienny o kątach przy podstawie \(45 ^{ \circ } \).
Trójkąt ten powstaje poprzez przecięcie kwadratu przekątną. Długość przekątnej kwadratu o boku \(a\) wynosi \(a \sqrt{2} \) a zatem trójkąt "45-45-90" mieć będzie boki takich właśnie długości.
W jaki sposób zapamiętać, w którym trójkącie ma być \( \sqrt{2} \), a w którym \( \sqrt{3} \)?
Można kojarzyć to w ten sposób: trójkąt 30-60-90 ma trzy różne kąty, więc \( \sqrt{3} \), z kolei trójkąt 45-45-90 ma dwa różne kąty, więc \( \sqrt{2} \).
Przykład:
1) Jakie będą długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 8 oraz kącie ostrym \(30 ^{ \circ } \)?
Naprzeciw kąta prostego znajduje się bok długości \(2a\) - w naszym przykładzie \(8\). Stąd \(a=4\) leżeć będzie naprzeciwko \(30 ^{ \circ } \). Z kolei dłuższa przyprostokątna mieć będzie długość \(a \sqrt{3} =4 \sqrt{3} \).
2) Znaleźć pozostałe boki trójkąta:
Jest to trójkąt o kątach 45-45-90, a zatem równoramienny prostokątny - jego drugie ramię mieć będzie taką samą długość jak pierwsze, a więc \(24 \sqrt{3} \) (ozn. \(a\)). Przeciwprostokątna z kolei ma długość \(a \sqrt{2} \), a więc \(24 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} =24 \sqrt{6} \).