Związki miarowe w trójkącie prostokątnym - "30-60-90", "45-45-90" równoramienny

W trójkącie prostokątnym zachodzą pewne związki między miarami kątów, a długościami jego boków.

Interesować nas będą w szczególności dwa trójkąty prostokątne - trójkąt o kątach miar 30-60-90 oraz trójkąt o kątach miar 45-45-90.

Trójkąt "30-60-90"

W tym trójkącie boki mają następujące długości: \(a\), \(a \sqrt{3} \), \(2a\).

Zwróćmy uwagę, że trójkąt taki powstaje poprzez przecięcie trójkąta równobocznego na pół (wzdłuż jednej z wysokości). Wtedy jeden z jego kątów zachowuje miarę \(60 ^{ \circ } \), kolejny ma miarę \(30 ^{ \circ } \) (\(60 ^{ \circ } \) przecięte na pół), ostatni zaś - jako kąt między dawnym bokiem a wysokością - musi być kątem prostym.

Jeśli bok początkowego trójkąta równobocznego miał długość \(2a\) to jego połowa mieć będzie długość \(a\). Z kolei korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego można wyliczyć długość ostatniego boku - \(a \sqrt{3} \). A zatem w trójkącie o kątach \(30 ^{ \circ } \), \(60 ^{ \circ } \)\(90 ^{ \circ } \) boki będą mieć długości jak na poniższym rysunku.

W jaki sposób zapamiętać, który bok ma jaką długość?

Zauważmy, że zarówno boki, jak i kąty, możemy uporządkować monotonicznie (rosnąco lub malejąco). Uporządkujmy kąty rosnąco: \(30 ^{ \circ } \) < \(60 ^{ \circ } \) < \(90 ^{ \circ } \).

Tak samo zróbmy z bokami: \(a\) < \(a \sqrt{3} \) < \(2a\) (ponieważ \( \sqrt{3} \approx 1,73<2\)).

Mniejsze kąty odpowiadać będą krótszym bokom, itd. Naprzeciwko najmniejszego kąta (\(30 ^{ \circ } \)) leżeć musi najkrótszy bok (\(a\)), naprzeciw kąta prostego znajdować się będzie najdłuższy bok (\(2a\)), kąt pośredni z kolei wyznaczy położenie boku o długości \(a \sqrt{3} \).

Trójkąt "45-45-90"

Drugim szczególnym typem trójkąta jest trójkąt prostokątny równoramienny o kątach przy podstawie \(45 ^{ \circ } \).

Trójkąt ten powstaje poprzez przecięcie kwadratu przekątną. Długość przekątnej kwadratu o boku \(a\) wynosi \(a \sqrt{2} \) a zatem trójkąt "45-45-90" mieć będzie boki takich właśnie długości.

W jaki sposób zapamiętać, w którym trójkącie ma być \( \sqrt{2} \), a w którym \( \sqrt{3} \)?

Można kojarzyć to w ten sposób: trójkąt 30-60-90 ma trzy różne kąty, więc \( \sqrt{3} \), z kolei trójkąt 45-45-90 ma dwa różne kąty, więc \( \sqrt{2} \).

 

Przykład:

1) Jakie będą długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 8 oraz kącie ostrym \(30 ^{ \circ } \)?

Naprzeciw kąta prostego znajduje się bok długości \(2a\) - w naszym przykładzie \(8\). Stąd \(a=4\) leżeć będzie naprzeciwko \(30 ^{ \circ } \). Z kolei dłuższa przyprostokątna mieć będzie długość \(a \sqrt{3} =4 \sqrt{3} \).

 

2) Znaleźć pozostałe boki trójkąta:

Jest to trójkąt o kątach 45-45-90, a zatem równoramienny prostokątny - jego drugie ramię mieć będzie taką samą długość jak pierwsze, a więc \(24 \sqrt{3} \) (ozn. \(a\)). Przeciwprostokątna z kolei ma długość \(a \sqrt{2} \), a więc \(24 \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} =24 \sqrt{6} \).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 4 =
Ostatnio komentowane
na czym polegają te fundacje i stowarzyszenia? brakuje tu wyjaśnienia i jakiegoś przyk�...
• 2024-11-05 17:38:04
Głupota w tekście! Janusz i Agnieszka się nie związali, bo byli bardzo bliskim kuzynos...
• 2024-10-27 17:40:49
Super
• 2024-10-21 17:09:20
Bardzo trudne.
• 2024-10-21 13:31:17
Dziękuję za krótką acz treściwą syntezę :)
• 2024-09-24 21:14:03