Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Tożsamości trygonometryczne

Udowodnij tożsamość trygonometryczną

a)  1 + 2\sin x \cos x = (\sin x\ +\ \cos x)^2,

b) \frac{\sin^2 x \ - \cos^2 x }{\sin x\cos x} = \text{tg } x \ -\ \text{ctg } x,

c) \frac{\sin x}{\sin x \ +\ \cos x} + \frac{\cos x }{\sin x \ -\ \cos x} = \frac{1}{1\ -\ 2\cos^2 x},

d) \frac{\text{tg }x - \text{ctg }x}{\text{tg }x + \text{ctg }x} = \frac{\text{tg }^2x - 1}{\text{tg }^2x +1.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
12.02.2020 21:57

a) 

 1 + 2\sin x \cos x = (\sin x\ +\ \cos x)^2

Rozposujemy prawą stronę równości ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy

 1 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x\ +\ 2\sin x \cos x \ +\ \cos^2 x

 1 + 2\sin x \cos x =( \sin^2 x\ +\ \cos^2 x )+\ 2\sin x \cos x \

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej 

\sin^2 x \ +\  \cos^2 x = 1 \hspace{10pt} \text{ dla } x\in\R i mamy

 1 + 2\sin x \cos x = 1 +\ 2\sin x \cos x

Zatem lewa strona jest równa prawej i tożsamość została wykazana.

 

b)

 \frac{\sin^2 x \ - \cos^2 x }{\sin x\cos x} = \text{tg } x \ -\ \text{ctg } x

Rozpisujemy prawą stronę, wiedząc, że 

\text{tg } x = \frac{\sin x }{\cos x}\hspace{20pt} \text{ dla }\hspace{5pt} x\in R\setminus \{\frac{\pi}{2}\ +\ k \pi\  \hspace{5pt}: \hspace{5pt}\ k\in C\}

\text{ctg } x = \frac{\cos x }{\sin x}\hspace{20pt} \text{ dla }\hspace{5pt} x\in R\setminus \{\  k \pi\  \hspace{5pt}: \hspace{5pt}\ k\in C\}

Prawa strona równania przyjmuje postać

P = \frac{\sin x}{\cos x}\ -\ \frac{\cos x}{\sin x}

Sprowadzając ułąmki do wspólnego mianownika i odejmując otrzymujemy dalej

P = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x\cos x }

a to jest równe lewej stronie.

 

c) 

\frac{\sin x}{\sin x \ +\ \cos x} + \frac{\cos x }{\sin x \ -\ \cos x} = \frac{1}{1\ -\ 2\cos^2 x}

 

Rozpisujemy lewą stronę, sprowadzając do wspólnego mianownika

L = \frac{\sin x\ (\sin x \ -\ \cos x ) \ +\  \cos x\ (\sin x\ +\ \cos x)}{ (\sin x \ -\ \cos x ) (\sin x \ +\ \cos x )} =

= \frac{\sin^2x\ -\ \sin x \cos x  \ +\  \cos x\sin x\ +\ \cos^2 x}{ \sin^2 x - \cos^2 x} =

= \frac{\sin^2x\  +\ \cos^2 x}{ \sin^2 x - \cos^2 x}

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy

L = \frac{1}{ \sin^2 x - \cos^2 x}

Ponownie korzystając z jedynki trygonometrycznej, zastępujemy sinusa odpowiednią różnicą

L  = \frac{1}{ 1\ -\ \cos^2 x - \cos^2 x}

 = \frac{1}{ 1- 2\cos^2 x} = P


Zatem, obie strony równania są sobie równe.


d)

 \frac{\text{tg }x - \text{ctg }x}{\text{tg }x + \text{ctg }x} = \frac{\text{tg }^2x - 1}{\text{tg }^2x +1

 Aby udowodnić powyższą równość, rozpisujemy lewą stronę

L=\frac{\text{tg }x - \text{ctg }x}{\text{tg }x + \text{ctg }x} = \frac{\text{tg }x - \frac{1}{\text{tg }x}}{\text{tg }x + \frac{1}{\text{tg }x}}

 

Sprowadzamy do wspólnego mianownika.

L=\frac{\frac{\text{tg }^2x}{\text{tg }x} - \frac{1}{\text{tg }x}}{\frac{\text{tg }^2x}{\text{tg }x} + \frac{1}{\text{tg }x}

= \frac{\frac{\text{tg }^2x -1}{\text{tg }x}}{\frac{\text{tg }^2x +1}{\text{tg }x}} = \frac{\text{tg }^2x -1}{\text{tg }x}} \cdot \frac{\text{tg }x}{\text{tg }^2x +1}

L =  \frac{\text{tg }^2x -1}{\text{tg }^2x +1} = P

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 1 + 4 =
Wszystkie odpowiedzi (0)