Tożsamości trygonometryczne

Udowodnij tożsamość trygonometryczną

a) $1 + 2\sin x \cos x = (\sin x\ +\ \cos x)^2$ ,

b) $\frac{\sin^2 x \ - \cos^2 x }{\sin x\cos x} = \text{tg } x \ -\ \text{ctg } x$ ,

c) $\frac{\sin x}{\sin x \ +\ \cos x} + \frac{\cos x }{\sin x \ -\ \cos x} = \frac{1}{1\ -\ 2\cos^2 x}$ ,

d) $\frac{\text{tg }x - \text{ctg }x}{\text{tg }x + \text{ctg }x} = \frac{\text{tg }^2x - 1}{\text{tg }^2x +1$ .

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

12.02.2020 21:57

$1 + 2\sin x \cos x = (\sin x\ +\ \cos x)^2$

Rozposujemy prawą stronę równości ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy

$1 + 2\sin x \cos x = \sin^2 x\ +\ 2\sin x \cos x \ +\ \cos^2 x$

$1 + 2\sin x \cos x =( \sin^2 x\ +\ \cos^2 x )+\ 2\sin x \cos x \$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej

$\sin^2 x \ +\ \cos^2 x = 1 \hspace{10pt} \text{ dla } x\in\R$ i mamy

$1 + 2\sin x \cos x = 1 +\ 2\sin x \cos x$

Zatem lewa strona jest równa prawej i tożsamość została wykazana.

$\frac{\sin^2 x \ - \cos^2 x }{\sin x\cos x} = \text{tg } x \ -\ \text{ctg } x$

Rozpisujemy prawą stronę, wiedząc, że

$\text{tg } x = \frac{\sin x }{\cos x}\hspace{20pt} \text{ dla }\hspace{5pt} x\in R\setminus \{\frac{\pi}{2}\ +\ k \pi\ \hspace{5pt}: \hspace{5pt}\ k\in C\}$

$\text{ctg } x = \frac{\cos x }{\sin x}\hspace{20pt} \text{ dla }\hspace{5pt} x\in R\setminus \{\ k \pi\ \hspace{5pt}: \hspace{5pt}\ k\in C\}$

Prawa strona równania przyjmuje postać

$P = \frac{\sin x}{\cos x}\ -\ \frac{\cos x}{\sin x}$

Sprowadzając ułąmki do wspólnego mianownika i odejmując otrzymujemy dalej

$P = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x\cos x }$

a to jest równe lewej stronie.

$\frac{\sin x}{\sin x \ +\ \cos x} + \frac{\cos x }{\sin x \ -\ \cos x} = \frac{1}{1\ -\ 2\cos^2 x}$

Rozpisujemy lewą stronę, sprowadzając do wspólnego mianownika

$L = \frac{\sin x\ (\sin x \ -\ \cos x ) \ +\ \cos x\ (\sin x\ +\ \cos x)}{ (\sin x \ -\ \cos x ) (\sin x \ +\ \cos x )} =$

$= \frac{\sin^2x\ -\ \sin x \cos x \ +\ \cos x\sin x\ +\ \cos^2 x}{ \sin^2 x - \cos^2 x} =$

$= \frac{\sin^2x\ +\ \cos^2 x}{ \sin^2 x - \cos^2 x}$

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy

$L = \frac{1}{ \sin^2 x - \cos^2 x}$

Ponownie korzystając z jedynki trygonometrycznej, zastępujemy sinusa odpowiednią różnicą

$L = \frac{1}{ 1\ -\ \cos^2 x - \cos^2 x}$

$= \frac{1}{ 1- 2\cos^2 x} = P$

Zatem, obie strony równania są sobie równe.

$\frac{\text{tg }x - \text{ctg }x}{\text{tg }x + \text{ctg }x} = \frac{\text{tg }^2x - 1}{\text{tg }^2x +1$

Aby udowodnić powyższą równość, rozpisujemy lewą stronę

$L=\frac{\text{tg }x - \text{ctg }x}{\text{tg }x + \text{ctg }x} = \frac{\text{tg }x - \frac{1}{\text{tg }x}}{\text{tg }x + \frac{1}{\text{tg }x}}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika.

$L=\frac{\frac{\text{tg }^2x}{\text{tg }x} - \frac{1}{\text{tg }x}}{\frac{\text{tg }^2x}{\text{tg }x} + \frac{1}{\text{tg }x}$

$= \frac{\frac{\text{tg }^2x -1}{\text{tg }x}}{\frac{\text{tg }^2x +1}{\text{tg }x}} = \frac{\text{tg }^2x -1}{\text{tg }x}} \cdot \frac{\text{tg }x}{\text{tg }^2x +1}$

$L = \frac{\text{tg }^2x -1}{\text{tg }^2x +1} = P$

Dzięki! 1

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również:

Zadania domowe na eSzkola.pl Rozwiążemy Twoje zadanie! dodaj zadanie

Wiedza

Podobne