Do podstawowych wzorów skróconego mnożenia należy wzór na kwadrat sumy.
\((a + b) ^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)
Kiedy podnosimy sumę dwóch składników do kwadratu nie możemy zapomnieć o dodaniu do kwadratów każdej z tych liczb także podwojonego iloczynu obu tych liczb.
Przykład:
\((8 + 9)^{2} = 8^{2} + 2 \cdot 8 \cdot 9 + 9^{2} = 64 + 144 + 81 = 289\) - zastosowanie wzoru na kwadrat sumy.
Skąd wziął się ten wzór?
\((a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot b + b \cdot b = a^{2} + 2ab + b^{2}\) - wyprowadzenie wzoru na kwadrat sumy.
Wzór ten ma także geometryczną interpretację:
Pole kwadratu o boku \((a + b)\) jest sumą pól kwadratu o boku \(a\), kwadratu o boku \(b\) i dwóch prostokątów o bokach \(a\) i \(b\).
Za pomocą wzoru na kwadrat sumy można policzyć wartość wyrażenia z pierwiastkiem.
Przykład:
\(( \sqrt{2} + 1)^{2} = (\sqrt{2})^{2} + 2\sqrt{2} + 1 = 2 + 2 \sqrt{2} + 1 = 3 + 2 \sqrt{2}\)
Zadania:
Obliczyć wartość następujących wyrażeń:
a) \(( \sqrt{2} + 2)^{2}\),
b) \(( \sqrt{3} + 1)^{2}\),
c) \(( \sqrt{5} + 5)^{2}\).
Odpowiedzi:
a) \(6 + 4 \sqrt{2} \),
b) \(4 + 2 \sqrt{3} \),
c) \(30 + 10 \sqrt{5} \).