Kolejnym wzorem skróconego mnożenia jest wzór na sumę sześcianów.
\(a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\)
Jego zastosowanie umożliwia przekształcanie pewnych wyrażeń do innych postaci, co jest pomocne zwłaszcza przy rozwiązywaniu równań wielomianowych.
Przykład:
\(x^{3} + 27 = x^{3}+ 3^{3} = (x+3)(x^{2}-3x+9)\)
\(x^{3} + 125 = x^{3}+ 5^{3} = (x+5)(x^{2}-5x+25)\)
Wyprowadzenie wzoru:
\((a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) = a^3 - a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b - ab^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}\)
Zadania:
Korzystając ze wzoru na sumę sześcianów przekształcić:
a) \(x^{3} + 8\),
b) \(x^{3} + 1\),
c) \(x^3 + 64\).
Odpowiedzi:
a) \((x+2)(x^{2}-2x+4)\),
b) \((x+1)(x^{2}-x+1)\),
c) \((x + 4)(x^{2} - 4x + 16)\).