Działania na potęgach

Potęgowanie jest działaniem będącym uogólnieniem mnożenia. Podobnie jak mnożenie można było rozpatrywać jako kilkakrotne wykonanie dodawania tej samej liczby do siebie samej, podobnie też potęgę danej liczby można postrzegać jako wielokrotne pomnożenie danej liczby przez nią samą.

 

Przykład:

3 + 3 + 3 = 3 \cdot 3 = 3^{2} = 9 Potęgowanie - działania na potęgach - dodawanie zapisać możemy jako mnożenie, mnożenie z kolei - jako potęgowanie.

W przypadku potęgi liczba potęgowana nazywa się podstawą, zaś liczba określająca ile razy mnożona jest przez podstawa to wykładnik potęgi. W powyższym przykładzie podstawą potęgowania jest liczba 3, wykładnikiem zaś - liczba 2.

Zwyczajowo gdy liczbę podnosimy do drugiej potęgi nazywamy tą operację podnoszeniem do kwadratu, kiedy do trzeciej - podnoszeniem do sześcianu. Ma to związek z geometryczną interpretacją potęgi, jako pola lub objętości odpowiednio kwadratu oraz sześcianu.

Warto jest znać kwadraty kilkunastu pierwszych liczb naturalnych:

1 ^{2} = 1 Potęgowanie - działania na potęgach                     2 ^{2} = 4 Potęgowanie - działania na potęgach 

3 ^{2} = 9 Potęgowanie - działania na potęgach                    4 ^{2} = 16 Potęgowanie - działania na potęgach

5 ^{2} = 25 Potęgowanie - działania na potęgach                   6 ^{2} = 36 Potęgowanie - działania na potęgach

7 ^{2} = 49 Potęgowanie - działania na potęgach                   8 ^{2} = 64 Potęgowanie - działania na potęgach

9 ^{2} = 81 Potęgowanie - działania na potęgach                   10 ^{2} = 100 Potęgowanie - działania na potęgach

11 ^{2} = 121 Potęgowanie - działania na potęgach                 12 ^{2} = 144 Potęgowanie - działania na potęgach

Wartości te przydatne są w wielu obliczeniach.

Z działaniami na potęgach wiążą się pewne zależności.

 

Przykład:

4 ^{2}  \cdot  4 ^{3} = 4 ^{2 + 3} =  4 ^{5} = 1024 Potęgowanie - działania na potęgach - w przypadku mnożenia potęg o tych samych podstawach wykładniki dodajemy

5 ^{2}  \cdot  4 ^{2} = (5  \cdot  4 )^{2} = 20 ^{2} = 400 Potęgowanie - działania na potęgach - kiedy z kolei wykładnik jest taki sam, podstawy można pomnożyć

Zachodzi także następujące prawo.

 

Przykład:

(5 ^{2}) ^ {3} = 5 ^{2  \cdot  3}  Potęgowanie - działania na potęgach - jeśli liczbę mamy podnieść do potęgi, a następnie wynik tego działania znów spotęgować, możemy uprościć działania poprzez wymnożenie wykładników oraz podniesienie wyjściowej podstawy do nowego wykładnika, będącego iloczynem dwóch początkowych.

Inną istotną zależnością jest zamiana wykładników.

 

Przykład

3 ^{2 ^{3} } = 3 ^{3 ^{2} } Potęgowanie - działania na potęgach - jeśli mamy podnieść daną liczbę do wykładnika, który sam jest potęgą, wykładniki obu potęg możemy zamienić miejscami.

 

Zadania:

Policzyć:

a) 5^{2}  \cdot 4^{3} Potęgowanie - działania na potęgach,

b) 2^{2^{2}} Potęgowanie - działania na potęgach,

c) 2^{3} \cdot 3^{3} \cdot 4^{3} Potęgowanie - działania na potęgach.

 

Odpowiedzi:

a) 1600,

b) 16,

c) 13824.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 3 =
Ostatnio komentowane
Czyli,powiedzenie Polak Węgier dwa bratanki,nie jak się nie odnoszą względem pochodzen...
• 2022-06-16 19:03:58
ekstra
• 2022-06-18 17:12:40
ok
• 2022-06-08 15:52:28
dzięks
• 2022-06-06 19:26:13
Ale proste
• 2022-06-06 14:23:48