Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Własności potęg

Ostatnio komentowane
Tekst zapewne zredagowany przez historyka. Tak naprawdę nic na temat rewolucyjnych osiąg...
furiat • 2019-08-15 11:10:28
Szkoda że nie ma zdań a tak poza tym to fajna strona
Nie kumata862 • 2019-08-06 19:59:23
Sorry, ale to nie jest o tańcu śmierci, tylko o "Rozmowie..." w ogóle.
Andr • 2019-07-30 10:51:02
Mądre to
Zbyszek • 2019-07-27 08:44:21
Sekta według przeciwników stosowania tego terminu jest elementem pseudonauki, nie uznawa...
uczen Jezusa • 2019-07-30 10:16:33
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Prawdziwe są następujące własności potęg:

(1) a ^{x}  \cdot a ^{y} =a ^{x+y} , przy założeniach x, y \in \mathbb R , a>0 lub zamiennie x,y \in \mathbb Z.

(2)  \frac{a ^{x} }{a ^{y} } = a ^{x-y} , przy założeniach x, y \in \mathbb R , a>0 lub zamiennie x,y \in \mathbb Z, a \neq 0.

(3) (a ^{x} ) ^{y} = a^{x \cdot y} , przy założeniach x, y \in \mathbb R , a>0 lub zamiennie x,y \in \mathbb Z.

(4) (a \cdot b) ^{x} =a ^{x}  \cdot b ^{x} , przy założeniach x, y \in \mathbb R , a,b>0 lub zamiennie x,y \in \mathbb Z.

(5) ( \frac{a}{b} )^x= \frac{a ^{x} }{b ^{x} } , przy założeniach x, y \in \mathbb R , a,b>0 lub zamiennie x,y \in \mathbb Z, b \neq 0.

(6) a ^{-x} = \frac{1  }{a^x} , przy założeniach x \in \mathbb Z}  _{+} oraz a \neq 0.

(7) a^ {\frac{x}{y} }= \sqrt[y]{a^x} , przy założeniach x,y \in \mathbb Z} _{+}, a \ge 0.

(8) a^ {-  \frac{x}{y} } =  \frac{1}{  \sqrt[y]{a^x}  } , przy założeniach x,y \in \mathbb Z} _{+}, a>0.

Ponadto cokolwiek podniesione do potęgi zerowej daje 1, co możemy zapisać jako:

(9) a^0=1.

Przykłady:

By lepiej zrozumieć poszczególne prawa działania na potęgach dobrze jest przyjrzeć się kilku przykładom.

(1) 2^2 \cdot 2^3=(2^2 )\cdot (2^3)=(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)=
2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^5=2^{2+3}.

(2)  \frac{3^4}{3^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 3}{1} 
=3 ^{2} =3 ^{4-2} .

(3) (5^2)^3=(5^2) \cdot (5^2) \cdot (5^2)=(5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5)
=5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5 ^{6} =5^{2 \cdot 3}.

(4) (2 \cdot 3) ^{2} =(2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)
=2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3
=2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3
=2^2 \cdot 3^2.

(5) ( \frac{1  }{2} )^3
= ( \frac{1  }{2} ) \cdot ( \frac{1  }{2} ) \cdot ( \frac{1  }{2} )
=  \frac{1  }{2}  \cdot \frac{1  }{2}  \cdot  \frac{1  }{2} 
= \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} 
= \frac{1^3}{2^3} .

(6)  \frac{2^3}{2^4} =2^{3-4}=2^{-1} ale jednocześnie  \frac{2^3}{2^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2} , zatem 2^{-1}= \frac{1  }{2} .

(7) 2 ^{\frac{1 }{2} } \cdot 2 ^{\frac{1 }{2} }=2^{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} }=2^1=2
= \sqrt{2}  \cdot  \sqrt{2} = \sqrt[2]{2^1}   \cdot \sqrt[2]{2^1} , zatem w istocie 2^ {\frac{1}{2} }= \sqrt[2]{2^1} .

(8) Ta zasada jest bezpośrednim połączeniem zasad (6) i (7).

(9) Zero pomnożone przez siebie dowolną ilość razy wciąż pozostaje zerem ale z zasady (9) mamy 0^0 =1 - jaka jest zatem poprawna odpowiedź? W matematyce nie ma co do tego zgody, jednakże najczęściej przyjmuje się, że 0^0 =1 (w wielu przypadkach tak jest wygodniej). Można przeprowadzić następującą symulację z użyciem kalkulatora - podnosić liczbę a do potęgi a przyjmując kolejno a równe 0,5, 0,25, 0,1, 0,01, 0,001, itd. - bardzo szybko widać, jak (zbliżając się w tej symulacji do prawdziwej wartości 0^0) przybliżamy się jednocześnie do 1.

Polecamy również:

  • Dzielenie

    Dzielenie jest ostatnim z czterech podstawowych działań arytmetycznych, przeważnie poznawane jest jako ostatnie. Dzielenie jest działaniem dwuargumentowym, pierwszy argument nazywamy dzielną, drugi - dzielnikiem, zaś wynik dzielenia to iloraz. Nazwy te są bardzo intuicyjne... Więcej »

  • Pierwiastkowanie

    Działaniem odwrotnym do potęgowania jest wyciąganie pierwiastków. Intuicyjnie pierwiastek jako działanie można rozumieć jako odpowiedź na następujące pytanie: jaką liczbę muszę podnieść do potęgi stopnia pierwiastka, by otrzymać liczbę pod pierwiastkiem? Więcej »

  • Mnożenie, mnożenie pisemne

    Mnożenie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Mnożone elementy nazywamy czynnikami, zaś wynik mnożenia iloczynem. Do oznaczenia tego działania używamy znaku kropki lub zamiennie znaku „x”. Więcej »

  • Kolejność wykonywania działań matematycznych

    W przypadku wykonywania działań na liczbach niezwykle istotna jest kolejność ich przeprowadzania. Zmiana kolejności wykonywania działań potrafi wpłynąć na wynik. Więcej »

  • Odejmowanie

    Odejmowanie jest drugim po dodawaniu podstawowym działaniem arytmetycznym. Jeśli myślimy o odejmowaniu jako o działaniu dwuargumentowym to składa się ono z następujących elementów: odjemna - liczba, od której będziemy odejmować, odjemnik - odejmowany od... Więcej »

Komentarze (0)
4 + 3 =
echo $this->Html->script('core.min'); echo $this->Html->script('blockadblock.js'); echo $this->Html->script('fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->css('/js/fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->script('jnice/jquery.jNice', array('async' => 'async')); echo $this->Html->css('/js/jnice/jNice.min');