Prawdziwe są następujące własności potęg:
(1) \(a ^{x} \cdot a ^{y} =a ^{x+y} \), przy założeniach \(x, y \in \mathbb R \), \(a>0\) lub zamiennie \(x,y \in \mathbb Z\).
(2) \( \frac{a ^{x} }{a ^{y} } = a ^{x-y} \), przy założeniach \(x, y \in \mathbb R \), \(a>0\) lub zamiennie \(x,y \in \mathbb Z\), \(a \neq 0\).
(3) \((a ^{x} ) ^{y} = a^{x \cdot y} \), przy założeniach \(x, y \in \mathbb R \), \(a>0\) lub zamiennie \(x,y \in \mathbb Z\).
(4) \((a \cdot b) ^{x} =a ^{x} \cdot b ^{x} \), przy założeniach \(x, y \in \mathbb R \), \(a,b>0\) lub zamiennie \(x,y \in \mathbb Z\).
(5) \(( \frac{a}{b} )^x= \frac{a ^{x} }{b ^{x} } \), przy założeniach \(x, y \in \mathbb R \), \(a,b>0\) lub zamiennie \(x,y \in \mathbb Z\), \(b \neq 0\).
(6) \(a ^{-x} = \frac{1 }{a^x} \), przy założeniach \(x \in \mathbb Z} _{+} \) oraz \(a \neq 0\).
(7) \(a^ {\frac{x}{y} }= \sqrt[y]{a^x} \), przy założeniach \(x,y \in \mathbb Z} _{+}\), \(a \ge 0\).
(8) \(a^ {- \frac{x}{y} } = \frac{1}{ \sqrt[y]{a^x} } \), przy założeniach \(x,y \in \mathbb Z} _{+}\), \(a>0\).
Ponadto cokolwiek podniesione do potęgi zerowej daje 1, co możemy zapisać jako:
(9) \(a^0=1\).
Przykłady:
By lepiej zrozumieć poszczególne prawa działania na potęgach dobrze jest przyjrzeć się kilku przykładom.
(1) \(2^2 \cdot 2^3=(2^2 )\cdot (2^3)=(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2)= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=2^5=2^{2+3}\).
(2) \( \frac{3^4}{3^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 3}{1} =3 ^{2} =3 ^{4-2} \).
(3) \((5^2)^3=(5^2) \cdot (5^2) \cdot (5^2)=(5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5) =5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5 ^{6} =5^{2 \cdot 3}\).
(4) \((2 \cdot 3) ^{2} =(2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3) =2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 =2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 =2^2 \cdot 3^2\).
(5) \(( \frac{1 }{2} )^3 = ( \frac{1 }{2} ) \cdot ( \frac{1 }{2} ) \cdot ( \frac{1 }{2} ) = \frac{1 }{2} \cdot \frac{1 }{2} \cdot \frac{1 }{2} \)\(= \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1^3}{2^3} \).
(6) \( \frac{2^3}{2^4} =2^{3-4}=2^{-1}\) ale jednocześnie \( \frac{2^3}{2^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \), zatem \(2^{-1}= \frac{1 }{2} \).
(7) \(2 ^{\frac{1 }{2} } \cdot 2 ^{\frac{1 }{2} }=2^{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} }=2^1=2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt[2]{2^1} \cdot \sqrt[2]{2^1} \), zatem w istocie \(2^ {\frac{1}{2} }= \sqrt[2]{2^1} \).
(8) Ta zasada jest bezpośrednim połączeniem zasad (6) i (7).
(9) Zero pomnożone przez siebie dowolną ilość razy wciąż pozostaje zerem ale z zasady (9) mamy \(0^0 =1\) - jaka jest zatem poprawna odpowiedź? W matematyce nie ma co do tego zgody, jednakże najczęściej przyjmuje się, że \(0^0 =1\) (w wielu przypadkach tak jest wygodniej). Można przeprowadzić następującą symulację z użyciem kalkulatora - podnosić liczbę \(a\) do potęgi \(a\) przyjmując kolejno \(a\) równe \(0,5\), \(0,25\), \(0,1\), \(0,01\), \(0,001\), itd. - bardzo szybko widać, jak (zbliżając się w tej symulacji do prawdziwej wartości \(0^0\)) przybliżamy się jednocześnie do 1.