Macierzą odwrotną do danej nazywamy taką macierz, której iloczyn z daną macierzą jest równy macierzy jednostkowej.
Formalnie można to przedstawić w następujący sposób:
Jeśli \(\mathbf{A}=[a_{ij}]_{n \times n}\) posiada macierz odwrotną \(\mathbf{A^{-1}}\) to zachodzi \(\mathbf{A \circ A^{-1}=A^{-1} \circ A=I}\).
Jeżeli \(\mathbf{A}\) posiada macierz odwrotną, to mówimy, że jest nieosobliwa.
Własności macierzy odwrotnej:
1) Dwukrotne odwrócenie macierzy przywraca macierz początkową, tj.
\(\mathbf{(A^{-1})^{-1}=A}\).
2) Spotęgowanie macierzy odwrotnej i odwrócenie macierzy spotęgowanej to to samo
\(\mathbf{(A^{-1})^{n}=(A^{n})^{-1}}\), \(n \in \mathbb{N}\).
3) Macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest transpozycją macierzy odwrotnej, tj.
\(\mathbf{(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}\).
4) Macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest iloczynem macierzy odwrotnych, ale w zmienionej kolejności:
\(\mathbf{(A \circ B)^{-1}=B^{-1} \circ A^{-1}\).
Przykład:
Sprawdźmy, że macierz \(\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right]\) i \(\mathbf{A^{-1}} = \left[ \begin{array}{ccc} -2 & 1\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right]\) wymnożą się do macierzy jednostkowej.
\(\mathbf{A} \circ \mathbf{A^{-1}} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{array} \right] \circ \left[ \begin{array}{ccc} -2 & 1\\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right] =\)
\(\left[ \begin{array}{ccc} -2+3 & 1-1\\ -6+6 & 3-2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right] \)
A zatem faktycznie macierz \(\mathbf{A^{-1}}\) jest macierzą odwrotną do macierzy \(\mathbf{A}\).