Macierzą odwrotną do danej nazywamy taką macierz, której iloczyn z daną macierzą jest równy macierzy jednostkowej.
Formalnie można to przedstawić w następujący sposób:
Jeśli posiada macierz odwrotną
to zachodzi
.
Jeżeli posiada macierz odwrotną, to mówimy, że jest nieosobliwa.
Własności macierzy odwrotnej:
1) Dwukrotne odwrócenie macierzy przywraca macierz początkową, tj.
.
2) Spotęgowanie macierzy odwrotnej i odwrócenie macierzy spotęgowanej to to samo
,
.
3) Macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest transpozycją macierzy odwrotnej, tj.
.
4) Macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest iloczynem macierzy odwrotnych, ale w zmienionej kolejności:
.
Przykład:
Sprawdźmy, że macierz i
wymnożą się do macierzy jednostkowej.
A zatem faktycznie macierz jest macierzą odwrotną do macierzy
.