Macierz odwrotna

Macierzą odwrotną do danej nazywamy taką macierz, której iloczyn z daną macierzą jest równy macierzy jednostkowej.

Formalnie można to przedstawić w następujący sposób:

Jeśli \mathbf{A}=[a_{ij}]_{n \times n} posiada macierz odwrotną \mathbf{A^{-1}} to zachodzi \mathbf{A \circ A^{-1}=A^{-1} \circ A=I}.

Jeżeli \mathbf{A} posiada macierz odwrotną, to mówimy, że jest nieosobliwa.

Własności macierzy odwrotnej:

1) Dwukrotne odwrócenie macierzy przywraca macierz początkową, tj.

\mathbf{(A^{-1})^{-1}=A}.

2) Spotęgowanie macierzy odwrotnej i odwrócenie macierzy spotęgowanej to to samo

\mathbf{(A^{-1})^{n}=(A^{n})^{-1}}, n \in \mathbb{N}.

3) Macierz odwrotna do macierzy transponowanej jest transpozycją macierzy odwrotnej, tj.

\mathbf{(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}}.

4) Macierz odwrotna do iloczynu macierzy jest iloczynem macierzy odwrotnych, ale w zmienionej kolejności:

\mathbf{(A \circ B)^{-1}=B^{-1} \circ A^{-1}.

Przykład:

Sprawdźmy, że macierz \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2\\
3 & 4
\end{array} \right] i \mathbf{A^{-1}} =
\left[ \begin{array}{ccc}
-2 & 1\\
 \frac{3}{2}  &  -\frac{1}{2} 
\end{array} \right] wymnożą się do macierzy jednostkowej.

\mathbf{A} \circ \mathbf{A^{-1}} =

\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2\\
3 & 4
\end{array} \right]
 \circ 
\left[ \begin{array}{ccc}
-2 & 1\\
 \frac{3}{2}  &  -\frac{1}{2} 
\end{array} \right]
=

\left[ \begin{array}{ccc}
-2+3 & 1-1\\
-6+6 & 3-2
\end{array} \right]
=
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0\\
0  &  1
\end{array} \right]

A zatem faktycznie macierz \mathbf{A^{-1}} jest macierzą odwrotną do macierzy \mathbf{A}.

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 3 =
Ostatnio komentowane
Stanisław Łokietek???
MariaŻ • 2020-10-31 14:11:41
co
xd • 2020-10-30 09:40:54
Dobrze opisane jednak brakuje w środkach stylistycznych epitetu
User532750214 • 2020-10-30 09:18:09
gupi
lolxd • 2020-10-30 09:11:44
Stary siedzi na wersalce i...
Stary • 2020-10-29 19:18:40