Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Odwracanie macierzy

Ostatnio komentowane
przydalo sie
jjoojo • 2019-06-13 14:46:18
Nie tyle rozwód co uznanie małżeństwa za nieważne dr Arletta Bolesta adwokat kości...
Arletta Bolesta • 2019-06-12 13:59:29
Abstrakcjonizm operuje abstrakcją! Zrezygnował, jak sam autor pisze, z wszelkiej figurat...
Anna • 2019-06-11 17:31:16
no ok
twój stary • 2019-06-11 15:44:43
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Odwracanie macierzy to proces znajdowania macierzy odwrotnej.

W tym celu możemy posłużyć się operacjami elementarnymi lub metodą wyznacznikową (dopełnień algebraicznych).

Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą operacji elementarnych

W tej metodzie postępujemy następująco: do danej macierzy \mathbf{A} dopisujemy macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru, a następnie tak otrzymaną macierz przekształcamy operacjami elementarnymi tak, by otrzymać macierz jednostkową w miejscu macierzy \mathbf{A}. Można to symbolicznie zapisać następująco:

\mathbf{[A|I] \rightarrow [I|A^{-1}]}.

Przykład:

Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2  \\
3 & 4
\end{array} \right].

\mathbf{A|I} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2  &|&1&0\\
3 & 4&|&0&1
\end{array} \right] \rightarrow \\
w_2-3w_1
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2  &|&1&0\\
0 & -2 &|&-3&1
\end{array} \right] \rightarrow \\
w_2 \cdot (-1)
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2  &|&1&0\\
0 & 2 &|&3&-1
\end{array} \right] \rightarrow \\
w_1-w_2
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0  &|&-2&1\\
0 & 2 &|&3&-1
\end{array} \right] \rightarrow \\
w_2 \cdot  \frac{1}{2} 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0  &|&-2&1\\
0 & 1 &|& \frac{3}{2} &- \frac{1}{2} 
\end{array} \right]

Tak więc macierzą odwrotną do macierzy \mathbf{A} będzie macierz \mathbf{A^{-1}} =
\left[ \begin{array}{ccc}
-2 &1  \\
 \frac{3}{2}  &  -\frac{1}{2} 
\end{array} \right].

Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą dopełnień algebraicznych

W tej metodzie posługujemy się następującym wzorem:

\mathbf{A^{-1}}= \frac{1}{\det \mathbf{A}}  \cdot [\mathbf{A_{ij}]^T, gdzie  [\mathbf{A_{ij}]^T to macierz transponowana dopełnień algebraicznych.

Przykład:

Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array} \right].

Policzmy najpierw jej wyznacznik - będzie on potrzebny do ułamka \frac{1}{\det \mathbf{A}} występującego we wzorze.

\det \mathbf{A} =
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{array} \right|=-4

Teraz wyznaczymy dopełnienia algebraiczne. Przypomnijmy, że są to wyznaczniki powstałe poprzez wykreślenie odpowiedniego wiersza i odpowiedniej kolumny (mówią o tym indeksy dolne, tak więc \mathbf{A_{11}} powstaje poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny, itd.).

\mathbf{A_{11}} =(-1)^{1+1} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
1 &  1 \\
 1 & 2
\end{array} \right|=1

\mathbf{A_{12}} =(-1)^{1+2} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
2 &  1 \\
 1 & 2
\end{array} \right|=-3

\mathbf{A_{13}} =(-1)^{1+3} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
2 &  1 \\
 1 & 1
\end{array} \right|=1

\mathbf{A_{21}} =(-1)^{2+1} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
2 &  1 \\
 1 & 2
\end{array} \right|=-3

\mathbf{A_{22}} =(-1)^{2+2} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
1 &  1 \\
 1 & 2
\end{array} \right|=1

\mathbf{A_{23}} =(-1)^{2+3} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
1 &  2 \\
 1 & 1
\end{array} \right|=1

\mathbf{A_{31}} =(-1)^{3+1} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
2 &  1 \\
 1 & 1
\end{array} \right|=1

\mathbf{A_{32}} =(-1)^{3+2} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
1 &  1 \\
 2 & 1
\end{array} \right|=1

\mathbf{A_{33}} =(-1)^{3+3} \cdot 
\left| \begin{array}{ccc}
1 & 2 \\
 2 & 1
\end{array} \right|=-3

Teraz (mając wyznacznik oraz dopełnienia algebraiczne) możemy podstawić wszystko do wzoru. Zwróćmy uwagę, że we wzorze pojawia się macierze, której elementami są dopełnienia algebraiczne, i tak element \mathbf{A_{11}} będzie się znajdował w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie, dopełnienie \mathbf{A_{12}} w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie, itd.

\mathbf{A^{-1}}= -\frac{1}{4}  \cdot
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -3 & 1 \\
-3 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array} \right]^T=
 -\frac{1}{4}  \cdot
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -3 & 1 \\
-3 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{array} \right].

Polecamy również:

Komentarze (0)
5 + 3 =
echo $this->Html->script('core.min'); echo $this->Html->script('blockadblock.js'); echo $this->Html->script('fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->css('/js/fancybox/jquery.fancybox-1.3.4.min'); echo $this->Html->script('jnice/jquery.jNice', array('async' => 'async')); echo $this->Html->css('/js/jnice/jNice.min');