Odwracanie macierzy

Odwracanie macierzy to proces znajdowania macierzy odwrotnej.

W tym celu możemy posłużyć się operacjami elementarnymi lub metodą wyznacznikową (dopełnień algebraicznych).

Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą operacji elementarnych

W tej metodzie postępujemy następująco: do danej macierzy $\mathbf{A}$ dopisujemy macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru, a następnie tak otrzymaną macierz przekształcamy operacjami elementarnymi tak, by otrzymać macierz jednostkową w miejscu macierzy $\mathbf{A}$ . Można to symbolicznie zapisać następująco:

$\mathbf{[A|I] \rightarrow [I|A^{-1}]}$ .

Przykład:

Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy $\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]$ .

$\mathbf{A|I} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 &|&1&0\\ 3 & 4&|&0&1 \end{array} \right]$ $\rightarrow \\ w_2-3w_1$ $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 &|&1&0\\ 0 & -2 &|&-3&1 \end{array} \right]$ $\rightarrow \\ w_2 \cdot (-1)$ $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 &|&1&0\\ 0 & 2 &|&3&-1 \end{array} \right]$ $\rightarrow \\ w_1-w_2$ $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 &|&-2&1\\ 0 & 2 &|&3&-1 \end{array} \right]$ $\rightarrow \\ w_2 \cdot \frac{1}{2}$ $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 &|&-2&1\\ 0 & 1 &|& \frac{3}{2} &- \frac{1}{2} \end{array} \right]$

Tak więc macierzą odwrotną do macierzy $\mathbf{A}$ będzie macierz $\mathbf{A^{-1}} = \left[ \begin{array}{ccc} -2 &1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{array} \right]$ .

Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą dopełnień algebraicznych

W tej metodzie posługujemy się następującym wzorem:

$\mathbf{A^{-1}}= \frac{1}{\det \mathbf{A}} \cdot [\mathbf{A_{ij}]^T$ , gdzie $[\mathbf{A_{ij}]^T$ to macierz transponowana dopełnień algebraicznych.

Przykład:

Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy $\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right]$ .

Policzmy najpierw jej wyznacznik - będzie on potrzebny do ułamka $\frac{1}{\det \mathbf{A}}$ występującego we wzorze.

$\det \mathbf{A} = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right|=-4$

Teraz wyznaczymy dopełnienia algebraiczne. Przypomnijmy, że są to wyznaczniki powstałe poprzez wykreślenie odpowiedniego wiersza i odpowiedniej kolumny (mówią o tym indeksy dolne, tak więc $\mathbf{A_{11}}$ powstaje poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny, itd.).

$\mathbf{A_{11}} =(-1)^{1+1} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right|=1$

$\mathbf{A_{12}} =(-1)^{1+2} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right|=-3$

$\mathbf{A_{13}} =(-1)^{1+3} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right|=1$

$\mathbf{A_{21}} =(-1)^{2+1} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right|=-3$

$\mathbf{A_{22}} =(-1)^{2+2} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right|=1$

$\mathbf{A_{23}} =(-1)^{2+3} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right|=1$

$\mathbf{A_{31}} =(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right|=1$

$\mathbf{A_{32}} =(-1)^{3+2} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} \right|=1$

$\mathbf{A_{33}} =(-1)^{3+3} \cdot \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right|=-3$

Teraz (mając wyznacznik oraz dopełnienia algebraiczne) możemy podstawić wszystko do wzoru. Zwróćmy uwagę, że we wzorze pojawia się macierze, której elementami są dopełnienia algebraiczne, i tak element $\mathbf{A_{11}}$ będzie się znajdował w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie, dopełnienie $\mathbf{A_{12}}$ w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie, itd.

$\mathbf{A^{-1}}= -\frac{1}{4} \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right]^T=$ $-\frac{1}{4} \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right]$ .

Polecamy również:

Macierz nieosobliwa

Macierz nieosobliwa to taka, której wyznacznik jest różny od zera... Więcej »
Macierz osobliwa

Macierz osobliwa to taka, której wyznacznik jest równy zero... Więcej »
Macierz transponowana

Macierz transponowana to taka, w której kolumny zamieniono z wierszami a wiersze z kolumnami... Więcej »
Macierz zerowa

Macierzą zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy są zerami... Więcej »
Macierz trójkątna

Macierzą trójkątną nazywamy macierz kwadratową, w której powyżej lub poniżej głównej przekątnej wszystkie elementy są zerami... Więcej »

Komentarze (0)

Odwracanie macierzy

Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą operacji elementarnych

Przykład:

Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą dopełnień algebraicznych

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Macierz nieosobliwa

Macierz osobliwa

Macierz transponowana

Macierz zerowa

Macierz trójkątna

Losowe zadania

Bogowie greccy

Która część koła jest większa?

Ustal współczynniki dla reakcji redoks między KIO3 i HI

Sprawdź swoją wiedzę z dziejów Cesarstwa Rzymskiego

Ułamki w zadaniach tekstowych