Odwracanie macierzy to proces znajdowania macierzy odwrotnej.
W tym celu możemy posłużyć się operacjami elementarnymi lub metodą wyznacznikową (dopełnień algebraicznych).
Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą operacji elementarnych
W tej metodzie postępujemy następująco: do danej macierzy \(\mathbf{A}\) dopisujemy macierz jednostkową odpowiedniego wymiaru, a następnie tak otrzymaną macierz przekształcamy operacjami elementarnymi tak, by otrzymać macierz jednostkową w miejscu macierzy \(\mathbf{A}\). Można to symbolicznie zapisać następująco:
\(\mathbf{[A|I] \rightarrow [I|A^{-1}]}\).
Przykład:
Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy .
\( \rightarrow \\ w_2-3w_1\)\( \rightarrow \\ w_2 \cdot (-1)\)\( \rightarrow \\ w_1-w_2\)\( \rightarrow \\ w_2 \cdot \frac{1}{2} \)
Tak więc macierzą odwrotną do macierzy \(\mathbf{A}\) będzie macierz .
Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą dopełnień algebraicznych
W tej metodzie posługujemy się następującym wzorem:
\(\mathbf{A^{-1}}= \frac{1}{\det \mathbf{A}} \cdot [\mathbf{A_{ij}]^T\), gdzie \( [\mathbf{A_{ij}]^T\) to macierz transponowana dopełnień algebraicznych.
Przykład:
Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy .
Policzmy najpierw jej wyznacznik - będzie on potrzebny do ułamka \(\frac{1}{\det \mathbf{A}} \) występującego we wzorze.
Teraz wyznaczymy dopełnienia algebraiczne. Przypomnijmy, że są to wyznaczniki powstałe poprzez wykreślenie odpowiedniego wiersza i odpowiedniej kolumny (mówią o tym indeksy dolne, tak więc \(\mathbf{A_{11}}\) powstaje poprzez wykreślenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny, itd.).
Teraz (mając wyznacznik oraz dopełnienia algebraiczne) możemy podstawić wszystko do wzoru. Zwróćmy uwagę, że we wzorze pojawia się macierze, której elementami są dopełnienia algebraiczne, i tak element \(\mathbf{A_{11}}\) będzie się znajdował w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie, dopełnienie \(\mathbf{A_{12}}\) w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie, itd.
\(\mathbf{A^{-1}}= -\frac{1}{4} \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right]^T= \)\( -\frac{1}{4} \cdot \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right]\).