Funkcja wykładnicza – własności, przykłady, wykres, zadania

Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci $f(x) = a^x$, przy czym $a > 0$, $a \neq 1$.

 

Dla funkcji wykładniczej charakterystyczne jest to, że nie ma ona miejsc zerowych. Niezależnie jednak od tego jaki jest parametr $a$, do jej wykresu należy punkt $(0,1)$, ponieważ $\for_{a} (a^0 =1)$.

 

Zbiór wartości funkcji wykładniczej stanowią liczby dodatnie, tj. $D^{-1}=(0,\infty)$.

Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, monotoniczna, nieokresowa i ciągła w całej swojej dziedzinie.

Nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Funkcja wykładnicza jest ograniczona od dołu przez oś $X$ nazywaną jej asymptotą poziomą. Od góry funkcjia jest nieograniczona.

 

Monotoniczność funkcji wykładniczej w zależności od parametru $a$ przedstawia się następująco:

Gdy $a >0$ funkcja jest rosnąca,

Gdy $a<0$ funkcja jest malejąca.

 

Przykład:

Funkcje $f(x) = 2^x$ i $g(x) = 3^x$ są rosnące.

Funkcja $h(x) = (\frac 1 2)^x$ jest malejąca. 

 

Zauważmy, że gdyby funkcję wykładniczą przekształcić dodając bądź odejmując od niej jakąś liczbę, wykres jej ulega przesunięciu w górę lub w dół. Wówczas funkcja może mieć miejsce zerowe. Określamy ja rozwiązując odpowiednie równanie wykładnicze.

 

Przykład:

Dla funkcji $f(x) = 3^x$ i powstałej z jej przekształcenia funkcji $g(x) = 3^x - 2$ mamy

$3^x -2 = 0$

$3^x = 2$

$\log{3^x} = \log{2}$

$x\log{3} = \log{2}$, zatem

$x = \frac{\log{2}}{ \log{3}} = \log_3{2}$

 

Przykład:

Innym możliwym przekształceniem wykresu funkcji wykładniczej jest przesunięcie wykresu w prawo/w lewo. W tym celu zmniejszamy lub zwiększamy argument funkcji o taką wartość, o jaką chcemy przesunąć wykres.

Niech zobrazują to funkcje $f(x) = 3^x$ i $g(x) = 3^x + 2$.

 

Zadanie:

Narysować wykres funkcji:

a) $f(x) = 2^x +1$,

b) $f(x) = (\frac12)^x-1$.

 

Odpowiedzi:

a)

b)