Funkcja wykładnicza – własności, przykłady, wykres, zadania

Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci f(x) = a^x, przy czym a > 0a \neq 1.

 

Dla funkcji wykładniczej charakterystyczne jest to, że nie ma ona miejsc zerowych. Niezależnie jednak od tego jaki jest parametr a, do jej wykresu należy punkt (0,1), ponieważ \for_{a} (a^0 =1).

 

Zbiór wartości funkcji wykładniczej stanowią liczby dodatnie, tj. D^{-1}=(0,\infty).

Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, monotoniczna, nieokresowa i ciągła w całej swojej dziedzinie.

Nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

Funkcja wykładnicza jest ograniczona od dołu przez oś X nazywaną jej asymptotą poziomą. Od góry funkcjia jest nieograniczona.

 

Monotoniczność funkcji wykładniczej w zależności od parametru a przedstawia się następująco:

Gdy a >0 funkcja jest rosnąca,

Gdy a<0 funkcja jest malejąca.

 

Przykład:

Funkcje f(x) = 2^x i g(x) = 3^x są rosnące.

Funkcja h(x) = (\frac 1 2)^x jest malejąca. 

 

Zauważmy, że gdyby funkcję wykładniczą przekształcić dodając bądź odejmując od niej jakąś liczbę, wykres jej ulega przesunięciu w górę lub w dół. Wówczas funkcja może mieć miejsce zerowe. Określamy ja rozwiązując odpowiednie równanie wykładnicze.

 

Przykład:

Dla funkcji f(x) = 3^x i powstałej z jej przekształcenia funkcji g(x) = 3^x - 2 mamy

3^x -2 = 0

3^x = 2

\log{3^x} = \log{2}

x\log{3} = \log{2}, zatem

x = \frac{\log{2}}{ \log{3}} = \log_3{2}

 

Przykład:

Innym możliwym przekształceniem wykresu funkcji wykładniczej jest przesunięcie wykresu w prawo/w lewo. W tym celu zmniejszamy lub zwiększamy argument funkcji o taką wartość, o jaką chcemy przesunąć wykres.

Niech zobrazują to funkcje f(x) = 3^xg(x) = 3^x + 2.

 

Zadanie:

Narysować wykres funkcji:

a) f(x) = 2^x +1,

b) f(x) = (\frac12)^x-1.

 

Odpowiedzi:

a)

b)

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 5 + 2 =
Ostatnio komentowane
w
ldwjnd • 2021-07-27 09:06:46
żoną Jaroslawa Iwaszkiewicza była pisarka i tłumaczka Anna Iwaszkiewiczowa z domu Lilp...
Iwona • 2021-07-19 18:40:47
"Oda do radości" to utwór Beethovena. Schiller napisał "Do Radości".
Germanista • 2021-07-10 02:59:47
Zgromadzenie Narodowe (Konwent) nie było "rządem rewolucyjnym", a parlamentem.
Andrzej • 2021-07-06 08:15:34
Czy naprawdę nie dało się tego bardziej spłycić? Gdzie jest drugi syn? Ten który p...
Andrzej Koraben • 2021-06-30 11:34:39