Funkcją wykładniczą jest funkcja postaci \(f(x) = a^x\), przy czym \(a > 0\), \(a \neq 1\).
Dla funkcji wykładniczej charakterystyczne jest to, że nie ma ona miejsc zerowych. Niezależnie jednak od tego jaki jest parametr \(a\), do jej wykresu należy punkt \((0,1)\), ponieważ \(\for_{a} (a^0 =1)\).
Zbiór wartości funkcji wykładniczej stanowią liczby dodatnie, tj. \(D^{-1}=(0,\infty)\).
Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, monotoniczna, nieokresowa i ciągła w całej swojej dziedzinie.
Nie jest ani parzysta ani nieparzysta.
Funkcja wykładnicza jest ograniczona od dołu przez oś \(X\) nazywaną jej asymptotą poziomą. Od góry funkcjia jest nieograniczona.
Monotoniczność funkcji wykładniczej w zależności od parametru \(a\) przedstawia się następująco:
Gdy \(a >0\) funkcja jest rosnąca,
Gdy \(a<0\) funkcja jest malejąca.
Przykład:
Funkcje \(f(x) = 2^x\) i \(g(x) = 3^x\) są rosnące.
Funkcja \(h(x) = (\frac 1 2)^x\) jest malejąca.
Zauważmy, że gdyby funkcję wykładniczą przekształcić dodając bądź odejmując od niej jakąś liczbę, wykres jej ulega przesunięciu w górę lub w dół. Wówczas funkcja może mieć miejsce zerowe. Określamy ja rozwiązując odpowiednie równanie wykładnicze.
Przykład:
Dla funkcji \(f(x) = 3^x\) i powstałej z jej przekształcenia funkcji \(g(x) = 3^x - 2\) mamy
\(3^x -2 = 0\)
\(3^x = 2\)
\(\log{3^x} = \log{2}\)
\(x\log{3} = \log{2}\), zatem
\(x = \frac{\log{2}}{ \log{3}} = \log_3{2}\)
Przykład:
Innym możliwym przekształceniem wykresu funkcji wykładniczej jest przesunięcie wykresu w prawo/w lewo. W tym celu zmniejszamy lub zwiększamy argument funkcji o taką wartość, o jaką chcemy przesunąć wykres.
Niech zobrazują to funkcje \(f(x) = 3^x\) i \(g(x) = 3^x + 2\).
Zadanie:
Narysować wykres funkcji:
a) \(f(x) = 2^x +1\),
b) \(f(x) = (\frac12)^x-1\).
Odpowiedzi:
a)
b)
