Własności funkcji

Własnościami funkcji są przede wszystkim:

(1) monotoniczność,

(2) ograniczoność,

(3) okresowość (też: cykliczność),

(4) różnowartościowość,

(5) parzystość,

(6) ciągłość.

 

Monotoniczność

Funkcję $f$ nazywamy rosnącą jeśli $\forall_{x_1,x_2} (x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2))$.

Funkcję $f$ nazywamy malejącą jeśli $\forall_{x_1,x_2} (x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2))$.  

Funkcję $f$ nazywamy nierosnącą jeśli $\forall_{x_1,x_2} (x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) \ge f(x_2))$. 

Funkcję $f$ nazywamy niemalejącą jeśli $\forall_{x_1,x_2} (x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2))$.

Funkcję $f$ nazywamy stałą jeśli $\forall_{x\in D} (f(x) = c)$.

Funkcję nazywamy monotoniczną w każdej z powyższych sytuacji.

W przeciwnym wypadku funkcja jest niemonotoniczna.

 

Ograniczoność

Funkcję $f$ nazywamy ograniczoną z góry jeśli $\exist_{M}\forall_{x \in D}f(x)\le M$.

Funkcję $f$ nazywamy ograniczoną z dołu jeśli $\exist_{m}\forall_{x \in D}f(x)\ge m$.  

Funkcję $f$ nazywamy ograniczoną jeśli jest ograniczona z góry i z dołu.

Funkcję, która nie jest ograniczona nazywamy nieograniczoną.

 

Okresowość

Funkcję $f$ nazywamy okresową, jeśli $\exist_T\for_xf(x+T)=f(x)$.

Wówczas liczbę $T$ nazywamy okresem funkcji $f$.

 

Różnowartościowość

Funkcję nazywamy różnowartościową jeśli dla różnych argumentów przyjmuje różne wartośći.

Formalnie $\forall_{x_1,x_2 \in D} (x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2))$ lub równoważnie $\forall_{x_1,x_2 \in D} (f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2)$.

Funkcję, która nie jest różnowartościowa nazywamy nieróżnowartościową.

 

Parzystość

Funkcję nazywamy parzystą, jeśli $\forall_{x \in D} (f(-x)=f(x))$.

Funkcję nazywamy nieparzystą, jeśli $\forall_{x \in D} (f(-x)=-f(x))$.  

Może się zdarzyć, że funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta.

 

Ciągłość

Funkcję nazywamy ciągłą, jeśli posiada ona granicę w każdym punkcie swojej dziedziny.

 

Geometryczna interpretacja właności funkcji

Monotoniczność na wykresie jest interpretowana zgodnie ze swoją nazwą, tzn. wykres funkcji rosnącej „rośnie” od lewej do prawej strony, wykres funkcji malejącej opada, itd.

Funkcja ograniczona daje się na wykresie „zamknąć” wewnątrz dwóch prostych równoległych, przecinających oś $Y$ w punktach o drugich współrzędnych będących ograniczeniami górnym i dolnym tej funkcji.

Wykres funkcji okresowej charakteryzuje się tym, że jego fragment powtarza się cyklicznie przez całą długość wykresu.

Wykres funkcji różnowartościowej charakteryzuje się tym, że każda prosta równoległa do osi $X$ jeśli go przecina, to tylko w jednym punkcie.

Funkcja parzysta ma wykres, którego osią symetrii jest oś $Y$. Wykres funkcji nieparzystej również charakteryzuje się symetrią, w tym przypadku jest to symetria środkowa względem początku układu współrzędnych.

Wykres funkcji ciągłej można „narysować bez odrywania ręki”, tj. nie ma na nim żadnych „dziur” ani „punktów przeskoku”.