Injekcja (funkcja różnowartościowa)

Jedną z podstawowych własności funkcji jest różnowartościowość. Funkcję nazywamy injekcją (iniekcją, funkcją różnowartościową) jeśli różnym argumentom przyporządkowuje ona różne wartości.

Definicja injekcji

Funkcja \(f:X \rightarrow Y\) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych \(a,b\in X \) spełniony jest warunek \(a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)\).

Uwaga:

Równoważnie funkcję różnowartościową można zdefiniować zastępując implikację pojawiającą się w powyższej definicji następującą: \(f(a)= f(b) \Rightarrow a=b\). Ten warunek mówi o tym, że jeśli wartości dwóch argumentów są sobie równe to te argumenty również muszą być sobie równe a zatem muszą być tym samym argumentem.

 

By lepiej zrozumieć sens definicji dobrze jest przyjrzeć się przykładom.

Przykłady:

1. Funkcja wymierna \(f(x)= \frac{a}{x} \) dla dowolnego \(a \neq 0\)\(x \neq 0\) jest injekcją - nie ma dwóch argumentów, które miałyby tą samą wartość.

2. Funkcja liniowa (o ile nie jest funkcją stałą) jest funkcją różnowartościową - każdemu argumentowi odpowiada inna wartość.

3. Funkcja kwadratowa nie jest injekcją - dla dowolnego argumentu różnego od \(p\) (\(x\)-owa współrzędna wierzchołka) daje się znaleźć drugi argument przyjmujący dokładnie tą samą wartość.

4. Funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe - każda wartość przyjmowana przez dowolną z funkcji trygonometrycznych (\(y= \sin x\), \(y = \cos x\), \(y = \ {tg{x}}\), \(y= \ ctgx\)) jest przez nią przyjmowana nieskończenie wiele razy.

 

Uwaga:

Obcięcie dziedziny funkcji może sprawić, że funkcja stanie się injekcją.

 

Przykłady:

3. c. d. Funkcja kwadratowa \(y=x^2\) określona dla liczb rzeczywistych dodatnich stanie się funkcją różnowartościową (ogólniej: injekcją staje się dowolna funkcja kwadratowa określona w tej części swojej dziedziny, która leży na prawo albo lewo od wierzchołka).

4. c. d. Obcięcie funkcji trygonometrycznych do odpowiednich przedziałów może sprawić, że będą one różnowartościowe - np. sinus na przedziale \((0; \frac{ \pi }{2} )\) nie przyjmuje ani razu tych samych wartości, w związku z czym jest funkcją różnowartościową.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
kupa
• 2024-11-06 19:37:57
na czym polegają te fundacje i stowarzyszenia? brakuje tu wyjaśnienia i jakiegoś przyk�...
• 2024-11-05 17:38:04
Głupota w tekście! Janusz i Agnieszka się nie związali, bo byli bardzo bliskim kuzynos...
• 2024-10-27 17:40:49
Super
• 2024-10-21 17:09:20
Bardzo trudne.
• 2024-10-21 13:31:17