Injekcja (funkcja różnowartościowa)

Jedną z podstawowych własności funkcji jest różnowartościowość. Funkcję nazywamy injekcją (iniekcją, funkcją różnowartościową) jeśli różnym argumentom przyporządkowuje ona różne wartości.

Definicja injekcji

Funkcja f:X \rightarrow Y jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych a,b\in X  spełniony jest warunek a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b).

Uwaga:

Równoważnie funkcję różnowartościową można zdefiniować zastępując implikację pojawiającą się w powyższej definicji następującą: f(a)= f(b) \Rightarrow a=b. Ten warunek mówi o tym, że jeśli wartości dwóch argumentów są sobie równe to te argumenty również muszą być sobie równe a zatem muszą być tym samym argumentem.

 

By lepiej zrozumieć sens definicji dobrze jest przyjrzeć się przykładom.

Przykłady:

1. Funkcja wymierna f(x)= \frac{a}{x} dla dowolnego a \neq 0x \neq 0 jest injekcją - nie ma dwóch argumentów, które miałyby tą samą wartość.

2. Funkcja liniowa (o ile nie jest funkcją stałą) jest funkcją różnowartościową - każdemu argumentowi odpowiada inna wartość.

3. Funkcja kwadratowa nie jest injekcją - dla dowolnego argumentu różnego od p (x-owa współrzędna wierzchołka) daje się znaleźć drugi argument przyjmujący dokładnie tą samą wartość.

4. Funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe - każda wartość przyjmowana przez dowolną z funkcji trygonometrycznych (y= \sin x, y = \cos x, y = \ {tg{x}}, y= \ ctgx) jest przez nią przyjmowana nieskończenie wiele razy.

 

Uwaga:

Obcięcie dziedziny funkcji może sprawić, że funkcja stanie się injekcją.

 

Przykłady:

3. c. d. Funkcja kwadratowa y=x^2 określona dla liczb rzeczywistych dodatnich stanie się funkcją różnowartościową (ogólniej: injekcją staje się dowolna funkcja kwadratowa określona w tej części swojej dziedziny, która leży na prawo albo lewo od wierzchołka).

4. c. d. Obcięcie funkcji trygonometrycznych do odpowiednich przedziałów może sprawić, że będą one różnowartościowe - np. sinus na przedziale (0; \frac{ \pi }{2} ) nie przyjmuje ani razu tych samych wartości, w związku z czym jest funkcją różnowartościową.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 4 =
Ostatnio komentowane
krokti
• 2024-04-21 14:15:02
bez marii bylby nikim, bez pozdra
• 2024-04-18 17:47:36
bARDZO FAJY TEKST! POWIEM SZCZERZE, ŻE MIAŁEM WZWÓD W TEMACIE PANIEN pOCKICH, ZWŁasza ...
• 2024-04-18 14:07:19
Fajne
• 2024-04-17 15:24:05
@Mariola - dziękujemy za zwrócenie uwagi, wpis został poprawiony. Pozdrawiamy :)
• 2024-04-16 07:36:55