Jedną z podstawowych własności funkcji jest różnowartościowość. Funkcję nazywamy injekcją (iniekcją, funkcją różnowartościową) jeśli różnym argumentom przyporządkowuje ona różne wartości.
Definicja injekcji
Funkcja jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych
spełniony jest warunek
.
Uwaga:
Równoważnie funkcję różnowartościową można zdefiniować zastępując implikację pojawiającą się w powyższej definicji następującą: . Ten warunek mówi o tym, że jeśli wartości dwóch argumentów są sobie równe to te argumenty również muszą być sobie równe a zatem muszą być tym samym argumentem.
By lepiej zrozumieć sens definicji dobrze jest przyjrzeć się przykładom.
Przykłady:
1. Funkcja wymierna dla dowolnego
i
jest injekcją - nie ma dwóch argumentów, które miałyby tą samą wartość.
2. Funkcja liniowa (o ile nie jest funkcją stałą) jest funkcją różnowartościową - każdemu argumentowi odpowiada inna wartość.
3. Funkcja kwadratowa nie jest injekcją - dla dowolnego argumentu różnego od (
-owa współrzędna wierzchołka) daje się znaleźć drugi argument przyjmujący dokładnie tą samą wartość.
4. Funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe - każda wartość przyjmowana przez dowolną z funkcji trygonometrycznych (,
,
,
) jest przez nią przyjmowana nieskończenie wiele razy.
Uwaga:
Obcięcie dziedziny funkcji może sprawić, że funkcja stanie się injekcją.
Przykłady:
3. c. d. Funkcja kwadratowa określona dla liczb rzeczywistych dodatnich stanie się funkcją różnowartościową (ogólniej: injekcją staje się dowolna funkcja kwadratowa określona w tej części swojej dziedziny, która leży na prawo albo lewo od wierzchołka).
4. c. d. Obcięcie funkcji trygonometrycznych do odpowiednich przedziałów może sprawić, że będą one różnowartościowe - np. sinus na przedziale nie przyjmuje ani razu tych samych wartości, w związku z czym jest funkcją różnowartościową.
