Bijekcja (funkcja wzajemnie jednoznaczna)

Funkcję nazywamy bijekcją (funkcją wzajemnie jednoznaczną) jeśli jest jednocześnie różnowartościowa oraz "na" (jest injekcją i surjekcją).

Innymi słowy, funkcja jest bijekcją jeśli każdemu elementowi dziedziny odpowiada dokładnie jeden element przeciwdziedziny oraz jednocześnie każdy element przeciwdziedziny odpowiada jakiemuś argumentowi.

Przykłady:

Wszystkie poniższe funkcje są bijekcjami:

1. Funkcja liniowa nie będąca funkcją stałą określona \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\).

2. Funkcja kwadratowa \(y= x^{2 } \) określona \(f: \mathbb R} _{ +} \rightarrow \mathbb R}_{+}\).

3. Funkcja wymierna \(y= \frac{1}{x} \) przyjmując jako dziedzinę oraz przeciwdziedzinę liczby rzeczywiste bez zera.

Te funkcje nie są bijekcjami:

1.' Funkcja stała - nie jest ona różnowartościowa (wielu argumentom odpowiada ta sama wartość) więc nie może być wzajemnie jednoznaczna.

2.' Funkcja kwadratowa \(y= x^{2 } \) określona \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) - istnieją elementy przeciwdziedziny nie przyjmowane dla żadnego argumentu, więc funkcja ta nie jest "na" stąd nie może być bijekcją.

3.' Funkcja wymierna \(y= \frac{1}{x} \) przyjmująca jako przeciwdziedzinę zbiór \(\mathbb R\) - do tego zbioru należy w szczególności zero, które nie będzie wartością funkcji dla żadnego z argumentów, tak więc nie może to być funkcja wzajemnie jednoznaczna.

Uwaga:

Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje do niej funkcja odwrotna. Wówczas i ta funkcja jest bijekcją.

Polecamy również:

  • Wyznaczanie dziedziny funkcji

    Dziedzina funkcji to zbiór tych argumentów (x-ów), dla których określenie danej funkcji ma sens. Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji musimy przestrzegać kilku warunków... Więcej »

  • Injekcja (funkcja różnowartościowa)

    Jedną z podstawowych własności funkcji jest różnowartościowość. Funkcję nazywamy injekcją (iniekcją, funkcją różnowartościową) jeśli różnym argumentom przyporządkowuje ona różne wartości... Więcej »

  • Surjekcja (funkcja "na")

    Funkcję nazywamy surjekcją (funkcją "na") jeśli przyjmuje jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 5 =
Ostatnio komentowane
• 2025-03-08 02:40:40
cycki lubie
• 2025-03-05 14:35:07
bardzo to działanie łatwe
• 2025-03-03 13:00:02
Jest nad czym myśleć. PEŁEN POZYTYW.
• 2025-03-02 12:32:53
pozdro mika
• 2025-02-24 20:08:01