Dziedzina funkcji to zbiór tych argumentów (x-ów), dla których określenie danej funkcji ma sens.
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji musimy przestrzegać kilku warunków. W szczególności: mianownik nie może być zerem oraz liczba pierwiastkowana nie może być ujemna (o ile pozostajemy w zbiorze liczb rzeczywistych).
Przyjrzyjmy się tym warunkom bliżej.
Mianownik nie może być zerem
Ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne nie możemy dopuścić do tego by w dziedzinie znalazł się argument zerujący mianownik.
Przykład:
W dziedzinie tej funkcji z pewnością nie znajdzie się zero. A zatem .
W przypadku tej funkcji mianownikiem jest wyrażenie a więc
.
Aby ten warunek był spełniony każdy z tych nawiasów musi być różny od zera.
oraz
.
Z pierwszego warunku otrzymujemy, że
.
Natomiast z drugiego
.
A zatem dziedziną jest zbiór .
Nieujemna liczba pod pierwiastkiem
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki możemy wyciągać tylko i wyłącznie z liczb nieujemnych (pierwiastki z liczb ujemnych mają sens dopiero w zbiorze liczb zespolonych). Z tego powodu ilekroć w zapisie funkcji pojawia się pierwiastek stajemy przed koniecznością rozwiązania odpowiedniej nierówności.
Przykład:
W przypadku tej funkcji pod pierwiastkiem znajduje się wyrażenie a zatem musimy rozwiązać nierówność
.
Dziedziną będzie więc zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych bądź równych 3 (przy czym dla argumentu 3 wartością funkcji będzie zero).
.
Pierwiastek w mianowniku
Ten przypadek jest połączeniem sytuacji występujących w punktach 1. i 2. Jeśli w mianowniku występuje pierwiastek to z jednej strony liczba podpierwiastkowa musi być większa lub równa zero (ponieważ pierwiastkujemy tylko liczby nieujemny), z drugiej jednak chcemy by mianownik był różny od zera. Łącząc zatem oba te warunki otrzymujemy następującą regułę: liczba pierwiastkowana musi być dodatnia.
Przykład:
Mamy więc z jednej strony (nieujemna liczba pierwiastkowana) lecz z drugiej
(niezerowy mianownik). A więc z obu tych warunków wynika, że
. Rozwiążmy tą nierówność.
Więc dziedziną funkcji jest zbiór .
Dziedzina funkcji logarytmicznej
Osobnego omówienia wymaga wyznaczanie dziedziny w przypadku funkcji logarytmicznych.
Logarytm ma sens tylko i wyłącznie wtedy, kiedy liczba logarytmowana jest dodatnia a jego podstawa dodatnia oraz różna od zera.
, przy założeniach
,
,
.
Przykład:
Podstawą logarytmu jest , zatem z powyżej przytoczonych założeń logarytmu mamy
.
Liczbą logarytmowaną jest wyrażenie - wyrażenie to dla każdego
jest dodatnie, jednak dla
przyjmuje waartość 1, a nie chcemy, żeby liczba logarytmowana była jedynką, stąd
. Teraz łącząc oba warunki (
oraz
) możemy zapisać dziedzinę:
. Chociaż drugi z tych warunków nie wnosił niczego nowego (zero było wykluczone już w pierwszym warunku) ale nie zawsze tak musi być, stąd koniecznie sprawdzać musimy wszystkie założenia.
Tutaj podstawą jest , więc
, stąd
.
Logarytmujemy , zatem
i
. Po przekształceniu:
oraz
.
Łącząc trzy warunki końcowe (,
,
) możemy podać dziedzinę funkcji f:
.