Dziedzina funkcji to zbiór tych argumentów (x-ów), dla których określenie danej funkcji ma sens.
Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji musimy przestrzegać kilku warunków. W szczególności: mianownik nie może być zerem oraz liczba pierwiastkowana nie może być ujemna (o ile pozostajemy w zbiorze liczb rzeczywistych).
Przyjrzyjmy się tym warunkom bliżej.
Mianownik nie może być zerem
Ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne nie możemy dopuścić do tego by w dziedzinie znalazł się argument zerujący mianownik.
Przykład:
\(f(x)= \frac{1}{x} \)
W dziedzinie tej funkcji z pewnością nie znajdzie się zero. A zatem \(D=\mathbb{R} \setminus \lbrace {0} \rbrace\).
\(f(x)= \frac{3x ^{2} }{(x-1)(x+5)} \)
W przypadku tej funkcji mianownikiem jest wyrażenie \((x-1)(x+5)\) a więc
\((x-1)(x+5) \neq 0\).
Aby ten warunek był spełniony każdy z tych nawiasów musi być różny od zera.
\((x-1) \neq 0\) oraz \((x+5) \neq 0\).
Z pierwszego warunku otrzymujemy, że
\(x-1 \neq 0\)
\(x \neq 1\).
Natomiast z drugiego
\( x+5 \neq 0\)
\(x \neq -5\).
A zatem dziedziną jest zbiór \(\mathbb{R} \setminus \lbrace {1,-5} \rbrace\).
Nieujemna liczba pod pierwiastkiem
W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki możemy wyciągać tylko i wyłącznie z liczb nieujemnych (pierwiastki z liczb ujemnych mają sens dopiero w zbiorze liczb zespolonych). Z tego powodu ilekroć w zapisie funkcji pojawia się pierwiastek stajemy przed koniecznością rozwiązania odpowiedniej nierówności.
Przykład:
\(f(x) = \sqrt{x-3} \)
W przypadku tej funkcji pod pierwiastkiem znajduje się wyrażenie \(x-3\) a zatem musimy rozwiązać nierówność \(x-3 \ge 0\).
\(x-3 \ge 0\)
\(x \ge 3\)
Dziedziną będzie więc zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych bądź równych 3 (przy czym dla argumentu 3 wartością funkcji będzie zero).
.
Pierwiastek w mianowniku
Ten przypadek jest połączeniem sytuacji występujących w punktach 1. i 2. Jeśli w mianowniku występuje pierwiastek to z jednej strony liczba podpierwiastkowa musi być większa lub równa zero (ponieważ pierwiastkujemy tylko liczby nieujemny), z drugiej jednak chcemy by mianownik był różny od zera. Łącząc zatem oba te warunki otrzymujemy następującą regułę: liczba pierwiastkowana musi być dodatnia.
Przykład:
\(f(x)= \frac{7x ^{3} }{ \sqrt{2x-5} } \)
Mamy więc z jednej strony \(2x -5 \ge 0\) (nieujemna liczba pierwiastkowana) lecz z drugiej \( \sqrt{2x-5} \neq 0\) (niezerowy mianownik). A więc z obu tych warunków wynika, że \(2x - 5>0\). Rozwiążmy tą nierówność.
\(2x - 5>0\)
\(2x>5\)
\(x >2,5\)
Więc dziedziną funkcji jest zbiór \((2,5;+ \infty )\).
Dziedzina funkcji logarytmicznej
Osobnego omówienia wymaga wyznaczanie dziedziny w przypadku funkcji logarytmicznych.
Logarytm ma sens tylko i wyłącznie wtedy, kiedy liczba logarytmowana jest dodatnia a jego podstawa dodatnia oraz różna od zera.
\(\log _{c} a=b \Leftrightarrow a ^{b} =c\), przy założeniach \(a>0\), \(a \neq 1\), \(c>0\).
Przykład:
\(f(x) = \log _{x} (x ^{2} +1)\)
Podstawą logarytmu jest \(x\), zatem z powyżej przytoczonych założeń logarytmu mamy \(x>0\).
Liczbą logarytmowaną jest wyrażenie \(x^2+1\) - wyrażenie to dla każdego \(x\) jest dodatnie, jednak dla \(x =0\) przyjmuje waartość 1, a nie chcemy, żeby liczba logarytmowana była jedynką, stąd \(x \neq 0\). Teraz łącząc oba warunki (\(x>0\) oraz \(x \neq 0\)) możemy zapisać dziedzinę: \(x \in (0;+ \infty )\). Chociaż drugi z tych warunków nie wnosił niczego nowego (zero było wykluczone już w pierwszym warunku) ale nie zawsze tak musi być, stąd koniecznie sprawdzać musimy wszystkie założenia.
\(f(x)=\log _{x+1} (x-5)\)
Tutaj podstawą jest \(x+1\), więc \(x+1> 0\), stąd \(x>-1\).
Logarytmujemy \(x-5\), zatem \(x-5 >0\) i \(x-5 \neq 1\). Po przekształceniu:
\(x>5\) oraz \(x \neq 6\).
Łącząc trzy warunki końcowe (\(x>-1\), \(x>5\), \(x \neq 6\)) możemy podać dziedzinę funkcji f:
\(D: x \in (5;6) \cup (6;+ \infty )\).