Wyznaczanie dziedziny funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór tych argumentów (x-ów), dla których określenie danej funkcji ma sens.

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji musimy przestrzegać kilku warunków. W szczególności: mianownik nie może być zerem oraz liczba pierwiastkowana nie może być ujemna (o ile pozostajemy w zbiorze liczb rzeczywistych).

Przyjrzyjmy się tym warunkom bliżej.

Mianownik nie może być zerem

Ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne nie możemy dopuścić do tego by w dziedzinie znalazł się argument zerujący mianownik.

Przykład:

$f(x)= \frac{1}{x}$

W dziedzinie tej funkcji z pewnością nie znajdzie się zero. A zatem $D=\mathbb{R} \setminus \lbrace {0} \rbrace$ .

$f(x)= \frac{3x ^{2} }{(x-1)(x+5)}$

W przypadku tej funkcji mianownikiem jest wyrażenie $(x-1)(x+5)$ a więc

$(x-1)(x+5) \neq 0$ .

Aby ten warunek był spełniony każdy z tych nawiasów musi być różny od zera.

$(x-1) \neq 0$ oraz $(x+5) \neq 0$ .

Z pierwszego warunku otrzymujemy, że

$x-1 \neq 0$

$x \neq 1$ .

Natomiast z drugiego

$x+5 \neq 0$

$x \neq -5$ .

A zatem dziedziną jest zbiór $\mathbb{R} \setminus \lbrace {1,-5} \rbrace$ .

Nieujemna liczba pod pierwiastkiem

W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki możemy wyciągać tylko i wyłącznie z liczb nieujemnych (pierwiastki z liczb ujemnych mają sens dopiero w zbiorze liczb zespolonych). Z tego powodu ilekroć w zapisie funkcji pojawia się pierwiastek stajemy przed koniecznością rozwiązania odpowiedniej nierówności.

Przykład:

$f(x) = \sqrt{x-3}$

W przypadku tej funkcji pod pierwiastkiem znajduje się wyrażenie $x-3$ a zatem musimy rozwiązać nierówność $x-3 \ge 0$ .

$x-3 \ge 0$

$x \ge 3$

Dziedziną będzie więc zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych bądź równych 3 (przy czym dla argumentu 3 wartością funkcji będzie zero).

$D= <3;+ \infty )$ .

Pierwiastek w mianowniku

Ten przypadek jest połączeniem sytuacji występujących w punktach 1. i 2. Jeśli w mianowniku występuje pierwiastek to z jednej strony liczba podpierwiastkowa musi być większa lub równa zero (ponieważ pierwiastkujemy tylko liczby nieujemny), z drugiej jednak chcemy by mianownik był różny od zera. Łącząc zatem oba te warunki otrzymujemy następującą regułę: liczba pierwiastkowana musi być dodatnia.

Przykład:

$f(x)= \frac{7x ^{3} }{ \sqrt{2x-5} }$

Mamy więc z jednej strony $2x -5 \ge 0$ (nieujemna liczba pierwiastkowana) lecz z drugiej $\sqrt{2x-5} \neq 0$ (niezerowy mianownik). A więc z obu tych warunków wynika, że $2x - 5>0$ . Rozwiążmy tą nierówność.

$2x - 5>0$

$2x>5$

$x >2,5$

Więc dziedziną funkcji jest zbiór $(2,5;+ \infty )$ .

Dziedzina funkcji logarytmicznej

Osobnego omówienia wymaga wyznaczanie dziedziny w przypadku funkcji logarytmicznych.

Logarytm ma sens tylko i wyłącznie wtedy, kiedy liczba logarytmowana jest dodatnia a jego podstawa dodatnia oraz różna od zera.

$\log _{c} a=b \Leftrightarrow a ^{b} =c$ , przy założeniach $a>0$ , $a \neq 1$ , $c>0$ .

Przykład:

$f(x) = \log _{x} (x ^{2} +1)$

Podstawą logarytmu jest $x$ , zatem z powyżej przytoczonych założeń logarytmu mamy $x>0$ .

Liczbą logarytmowaną jest wyrażenie $x^2+1$ - wyrażenie to dla każdego $x$ jest dodatnie, jednak dla $x =0$ przyjmuje waartość 1, a nie chcemy, żeby liczba logarytmowana była jedynką, stąd $x \neq 0$ . Teraz łącząc oba warunki ( $x>0$ oraz $x \neq 0$ ) możemy zapisać dziedzinę: $x \in (0;+ \infty )$ . Chociaż drugi z tych warunków nie wnosił niczego nowego (zero było wykluczone już w pierwszym warunku) ale nie zawsze tak musi być, stąd koniecznie sprawdzać musimy wszystkie założenia.

$f(x)=\log _{x+1} (x-5)$

Tutaj podstawą jest $x+1$ , więc $x+1> 0$ , stąd $x>-1$ .

Logarytmujemy $x-5$ , zatem $x-5 >0$ i $x-5 \neq 1$ . Po przekształceniu:

$x>5$ oraz $x \neq 6$ .

Łącząc trzy warunki końcowe ( $x>-1$ , $x>5$ , $x \neq 6$ ) możemy podać dziedzinę funkcji f:

$D: x \in (5;6) \cup (6;+ \infty )$ .

Polecamy również:

Injekcja (funkcja różnowartościowa)

Jedną z podstawowych własności funkcji jest różnowartościowość. Funkcję nazywamy injekcją (iniekcją, funkcją różnowartościową) jeśli różnym argumentom przyporządkowuje ona różne wartości... Więcej »
Surjekcja (funkcja "na")

Funkcję nazywamy surjekcją (funkcją "na") jeśli przyjmuje jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny... Więcej »
Bijekcja (funkcja wzajemnie jednoznaczna)

Funkcję nazywamy bijekcją (funkcją wzajemnie jednoznaczną) jeśli jest jednocześnie różnowartościowa oraz "na" (jest injekcją i surjekcją). Innymi słowy, funkcja jest bijekcją jeśli... Więcej »

Komentarze (0)

Wyznaczanie dziedziny funkcji

Mianownik nie może być zerem

Przykład:

Nieujemna liczba pod pierwiastkiem

Przykład:

Pierwiastek w mianowniku

Przykład:

Dziedzina funkcji logarytmicznej

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Injekcja (funkcja różnowartościowa)

Surjekcja (funkcja "na")

Bijekcja (funkcja wzajemnie jednoznaczna)

Losowe zadania

Postać liczby

Opis rzeźby

Wzajemne położenie okręgu i prostej

Druga zasada dynamiki Newtona - spadek siły

Budowa czaszki