Wyznaczanie dziedziny funkcji

Dziedzina funkcji to zbiór tych argumentów (x-ów), dla których określenie danej funkcji ma sens.

Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji musimy przestrzegać kilku warunków. W szczególności: mianownik nie może być zerem oraz liczba pierwiastkowana nie może być ujemna (o ile pozostajemy w zbiorze liczb rzeczywistych).

Przyjrzyjmy się tym warunkom bliżej.

Mianownik nie może być zerem

Ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne nie możemy dopuścić do tego by w dziedzinie znalazł się argument zerujący mianownik.

Przykład:

f(x)= \frac{1}{x}

W dziedzinie tej funkcji z pewnością nie znajdzie się zero. A zatem D=\mathbb{R} \setminus \lbrace {0} \rbrace.

f(x)= \frac{3x ^{2} }{(x-1)(x+5)}

W przypadku tej funkcji mianownikiem jest wyrażenie (x-1)(x+5) a więc

(x-1)(x+5) \neq 0.

Aby ten warunek był spełniony każdy z tych nawiasów musi być różny od zera.

(x-1) \neq 0 oraz (x+5) \neq 0.

Z pierwszego warunku otrzymujemy, że

x-1 \neq 0

x \neq 1.

Natomiast z drugiego

 x+5 \neq 0

x \neq -5.

A zatem dziedziną jest zbiór \mathbb{R} \setminus \lbrace {1,-5} \rbrace.

Nieujemna liczba pod pierwiastkiem

W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki możemy wyciągać tylko i wyłącznie z liczb nieujemnych (pierwiastki z liczb ujemnych mają sens dopiero w zbiorze liczb zespolonych). Z tego powodu ilekroć w zapisie funkcji pojawia się pierwiastek stajemy przed koniecznością rozwiązania odpowiedniej nierówności.

Przykład:

f(x) =  \sqrt{x-3}

W przypadku tej funkcji pod pierwiastkiem znajduje się wyrażenie x-3 a zatem musimy rozwiązać nierówność x-3 \ge 0.

x-3 \ge 0

x \ge 3

Dziedziną będzie więc zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych bądź równych 3 (przy czym dla argumentu 3 wartością funkcji będzie zero).

D= <3;+ \infty ).

Pierwiastek w mianowniku

Ten przypadek jest połączeniem sytuacji występujących w punktach 1. i 2. Jeśli w mianowniku występuje pierwiastek to z jednej strony liczba podpierwiastkowa musi być większa lub równa zero (ponieważ pierwiastkujemy tylko liczby nieujemny), z drugiej jednak chcemy by mianownik był różny od zera. Łącząc zatem oba te warunki otrzymujemy następującą regułę: liczba pierwiastkowana musi być dodatnia.

Przykład:

f(x)= \frac{7x ^{3} }{ \sqrt{2x-5} }

Mamy więc z jednej strony 2x -5 \ge 0 (nieujemna liczba pierwiastkowana) lecz z drugiej  \sqrt{2x-5}  \neq 0 (niezerowy mianownik). A więc z obu tych warunków wynika, że 2x - 5>0. Rozwiążmy tą nierówność.

2x - 5>0

2x>5

x >2,5

Więc dziedziną funkcji jest zbiór (2,5;+ \infty ).

Dziedzina funkcji logarytmicznej

Osobnego omówienia wymaga wyznaczanie dziedziny w przypadku funkcji logarytmicznych.

Logarytm ma sens tylko i wyłącznie wtedy, kiedy liczba logarytmowana jest dodatnia a jego podstawa dodatnia oraz różna od zera.

\log _{c} a=b \Leftrightarrow a ^{b} =c, przy założeniach a>0, a \neq 1, c>0.

Przykład:

f(x) = \log _{x} (x ^{2} +1)

Podstawą logarytmu jest x, zatem z powyżej przytoczonych założeń logarytmu mamy x>0.

Liczbą logarytmowaną jest wyrażenie x^2+1 - wyrażenie to dla każdego x jest dodatnie, jednak dla x =0 przyjmuje waartość 1, a nie chcemy, żeby liczba logarytmowana była jedynką, stąd x \neq 0. Teraz łącząc oba warunki (x>0 oraz x \neq 0) możemy zapisać dziedzinę: x \in (0;+ \infty ). Chociaż drugi z tych warunków nie wnosił niczego nowego (zero było wykluczone już w pierwszym warunku) ale nie zawsze tak musi być, stąd koniecznie sprawdzać musimy wszystkie założenia.

f(x)=\log  _{x+1} (x-5)

Tutaj podstawą jest x+1, więc x+1> 0, stąd x>-1.

Logarytmujemy x-5, zatem x-5 >0 i x-5 \neq 1. Po przekształceniu:

x>5 oraz x \neq 6.

Łącząc trzy warunki końcowe (x>-1, x>5, x \neq 6) możemy podać dziedzinę funkcji f:

D: x \in (5;6) \cup (6;+ \infty ).

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 4 + 5 =
Ostatnio komentowane
Super przydało mi się to do zadania z Religii
• 2022-09-29 12:48:27
Dziękuję, pomogło mi w nauce :)
• 2022-09-29 12:05:27
Bardzo pomocny
• 2022-09-29 09:23:04
git
• 2022-09-27 14:46:23
Ok
• 2022-09-27 12:59:27