Dzielenie przez 0 jest niewykonalne - dlaczego?
Wyobraźmy sobie, że przeciwnie - dzielenie przez 0 jest możliwe. Niech wynikiem podzielenia liczby \(a\) przez \(0\) będzie pewna liczba \(b\). Możemy to zapisać następująco:
\(a\) \(:\) \(0\) \(=\) \(b\)
lub też
\( \frac{a}{0} =b\)
Operacją przeciwną do dzielenia jak wiemy jest mnożenie. Operacja przeciwna ma to do siebie, że wykonanie na jakimś obiekcie (na przykład liczbie) na przemian danej operacji oraz operacji do niej przeciwnej wraca nas do punktu wyjścia (a więc w tym przypadku do liczby od której zaczęliśmy).
W takim razie zastosujmy operację przeciwną w naszym przypadku.
Wyrażenie \( \frac{a}{0} =b\) pomnóżmy obustronnie przez zero. Otrzymujemy wówczas
\(a =b\cdot 0\),
z czego wynika
\(a =0\).
Ale wtedy mielibyśmy też, że
\(0 =b \cdot 0\),
a zatem i \(b = 0\).
Czyli podstawiając do
\( \frac{a}{0} =b\)
otrzymalibyśmy
\( \frac{0}{0} =0\),
a przecież iloraz liczby przez samą siebie to 1 - dochodzimy więc do sprzeczności.
Z powyższych rozważań wynika, że dzielenie przez zero nie jest możliwe. Gdyby jednak ktoś nie był do końca przekonany, spróbujmy podzielić 1 przez 0. Nie wiemy rzecz jasna ile to jest, więc wynik oznaczamy jako \(x\).
\( \frac{1}{0} =x\)
Teraz pomnożmy obie strony przez 0 i zobaczmy co otrzymamy
\( \frac{1}{0} \cdot 0=x \cdot 0\)
\(1=x \cdot 0\)
\(1=0\)
Ponownie otrzymujemy sprzeczność.
Jak widać dzielenie przez zero dostarcza samych problemów - stąd właśnie jest niewykonalne. A przy tym absolutnie w matematyce niepotrzebne - cała matematyka ma się dobrze bez tego.
Anegdotki związane z dzieleniem przez zero
Jak głosi jedna z legend miejskich (lub jeden z żartów matemtycznych, które to żarty mają to do siebie, że śmieszą tylko matematyków i nikogo więcej), podzielenie przez zero grozi wybuchem tzw. bomby zerodzielącej. W środowisku matematycznym krąży zaś następująca anegdotka.
Pewien zbulwersowany student zwrócił się do wykładowcy.
- Panie profesorze - w szkole podstawowej uczyliście nas, że nie można od liczby mniejszej odjąć liczby większej. Potem poznaliśmy liczby ujemne i okazało się, że jednak można. Później uczyliście nas, że nie można wyciągnąć pierwiastka z liczby ujemnej. Poznaliśmy liczby zespolone i już pierwiastkujemy liczby ujemne. To kiedy w końcu nauczycie nas dzielić przez zero!?
Na szczęście nie ma obaw, że dojdzie do takiej sytuacji - w matematyce dzielenie przez zero nie jest ani potrzebne ani wykonalne. Przy użyciu do tego celu kalkulatora możemy spodziewać się dwóch efektów: kalkulator zwróci błąd (komunikat BŁĄD, ERROR lub skrótowo E) bądź zachowa milczenie nie podając żadnego wyniku (zwłaszcza w przypadku kalkulatorów na telefonach).