Macierz trójkątna

Macierzą trójkątną nazywamy macierz kwadratową, w której powyżej lub poniżej głównej przekątnej wszystkie elementy są zerami.

Macierz nazywamy trójkątną górną jeśli wszystkie jej elementy poniżej głównej przekątnej są zerami.

Macierz nazywamy trójkątną dolną jeśli wszystkie jej elementy powyżej głównej przekątnej są zerami.

 

A zatem macierz trójkątna górna ma następującą postać:

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \ldots \\
0 & a_{22} & a_{23} \ldots \\
0 & 0 & a_{33} \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right]

Z kolei macierz trójkątna dolna ma postać:

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
a_{11} & 0 & 0 \ldots \\
a_{21} & a_{22} & 0 \ldots \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \ldots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array} \right]

Macierze trójkątne mają tą własność, że do policzenia ich wyznacznika wystarczy policzyć tzw. ślad macierzy, tj. iloczyn elementów leżących na głównej przekątnej.

\det \mathbf{A} = a_{11} \cdot a_{22} \cdot ... \cdot a_{nn}, gdzie n - wymiar macierzy (liczba wierszy/kolumn).

Szczególnym przypadkiem macierzy zarówno trójkątnej górnej jak i trójkątnej dolnej jest macierz diagonalna, a co za tym idzie także i macierz jednostkowa.

Przykłady:

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 10 & 100 & 1000 \\
0 & 2 & 20 &200 \\
0 & 0 & 3 &30 \\
0 & 0 & 0 &4\end{array} \right] - macierz trójkątna górna czwartego stopnia.

\mathbf{B} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
2 & 2 & 0 \\
3 & 0 & 3 \\

\end{array} \right] - macierz trójkątna dolna trzeciego stopnia.

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 2 =
Ostatnio komentowane
słabe
kondradek_14 • 2020-11-24 10:12:18
fajne
szenino anino • 2020-11-23 20:48:13
Bardzo przydatne :))
Milka • 2020-11-23 17:28:48
Dobre ale ja tego nie wiedziałem
Szymon • 2020-11-23 14:33:33
fajny
Alek • 2020-11-23 11:13:48