1. Strona główna
    2. /
  2. Matematyka
    3. /
  3. Rząd macierzy

Rząd macierzy

Rząd macierzy jest jedną z podstawowych charakterystyk macierzy. Jego wyznaczanie ma istotne znaczenie np. przy rozwiązywaniu układów równań metodami macierzowymi.

Formalnie rzędem macierzy nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów, które są wierszami lub kolumnami macierzy.

Możemy myśleć o tym w następujący sposób: daną macierz \mathbf{A} możemy poddawać różnym operacjom elementarnym. W szczególności można wykonywać operacje w taki sposób, żeby starać się uzyskać w danej macierzy jak najwięcej zer. Pozostałe elementy (niebędące zerami) możemy próbować przerobić na jedynki. Chcemy więc uzyskać w kolumnach (lub wierszach) możliwie dużo wektorów postaci

(1,0,0,...,0)

(0,1,0,...,0)

(0,0,1,...,0)

...

(0,0,0,...,1)

A zatem wektorów zawierających zera na wszystkich pozycjach z wyjątkiem jednej, na której znajduje się jedynka.

Rząd macierzy to maksymalna liczba kolumn (lub wierszy), w których występują takie wektory (ale różne między sobą).

Rząd macierzy \mathbf{A} oznaczamy r(\mathbf{A}).

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Niech dana będzie macierz \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 7 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right]. Wyznaczymy jej rząd.

W tym celu wykonywać będziemy operacje elementarne na wierszach, zmierzając do uzyskania jak największej liczby różnych wektorów zero-jedynkowych w poszczególnych kolumnach.

\mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 7 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right] w_2-w_3 \rightarrow \\ w_3-2w_1 \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 6 & 0 \\ -3 & -3 &-5 & 0 \end{array} \right] w_2+w_3 \rightarrow \\ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & -3 &-5 & 0 \end{array} \right] w_1-2w_2 \rightarrow \\ w_3+3w_2

\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & 0 &-2 & 0 \end{array} \right] w_3 \cdot (-\frac{1}{3}) \rightarrow \\ \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & \frac{2}{3} & 0 \end{array} \right] w_1 -w_3 \rightarrow \\ \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & \frac{1}{3} & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & \frac{2}{3} & 0 \end{array} \right]

Uzyskaliśmy zatem aż trzy różne wektory zero-jedynkowe, stąd rząd macierzy równy jest 3 - możemy zapisać r(\mathbf{A})=3 .

 

O rzędzie macierzy możemy myśleć też w inny sposób.

Z macierzy wybierać możemy tzw. minory wykreślając z niej wiersze i/lub kolumny a następnie licząc wyznaczniki tak otrzymanej macierzy. Rzędem nazywamy stopień największego niezerującego się minora.

Przykład:

Niech dana będzie macierz \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ \end{array} \right].

Wykreślając z niej odpowiednio kolumnę trzecią, drugą oraz pierwszą otrzymamy następujące minory drugiego stopnia:

\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{array} \right| = 0

\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{array} \right| = 1

\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 4 & 3 \\ \end{array} \right| = 2

Ponieważ przynajmniej jeden z tych minorów jest niezerowy - rząd macierzy wynosi 2.

Przykład:

Wyznaczmy rząd macierzy \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right].

Policzmy najpierw wyznacznik tej macierzy:

\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right|=0

Ponieważ więc minor stopnia trzy jest zerowy, szukamy niezerowego minora stopnia drugiego. Jeśli wykreślimy wiersz trzeci i kolumnę pierwszą, otrzymamy następujący minor:

\left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right|=-10 - jest on różny od zera, a zatem r(\mathbf{A})=2.

Polecamy również:

Zobacz również

Losowe zadania

Komentarze (0)
Wynik działania 2 + 3 =
Ostatnio komentowane
Teogonia
.
• 2024-09-05 17:12:32
Wojna chłopska w Niemczech (1524-1526)
Dodajmy, że było to również ostatnie powstanie wendyjskie (słowiańskie) na terenie N...
• 2024-09-04 21:32:33
Idiota – streszczenie
DZIĘKUJĘ
• 2024-07-31 13:21:34
Najazdy barbarzyńców na Rzym
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
Ampere
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33