Rząd macierzy

Rząd macierzy jest jedną z podstawowych charakterystyk macierzy. Jego wyznaczanie ma istotne znaczenie np. przy rozwiązywaniu układów równań metodami macierzowymi.

Formalnie rzędem macierzy nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów, które są wierszami lub kolumnami macierzy.

Możemy myśleć o tym w następujący sposób: daną macierz \mathbf{A} możemy poddawać różnym operacjom elementarnym. W szczególności można wykonywać operacje w taki sposób, żeby starać się uzyskać w danej macierzy jak najwięcej zer. Pozostałe elementy (niebędące zerami) możemy próbować przerobić na jedynki. Chcemy więc uzyskać w kolumnach (lub wierszach) możliwie dużo wektorów postaci

(1,0,0,...,0)

(0,1,0,...,0)

(0,0,1,...,0)

...

(0,0,0,...,1)

A zatem wektorów zawierających zera na wszystkich pozycjach z wyjątkiem jednej, na której znajduje się jedynka.

Rząd macierzy to maksymalna liczba kolumn (lub wierszy), w których występują takie wektory (ale różne między sobą).

Rząd macierzy \mathbf{A} oznaczamy r(\mathbf{A}).

Przeanalizujmy to na przykładzie.

Przykład:

Niech dana będzie macierz \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 1 \\
2 & 5 & 7 & 2 \\
-1 & 1 & 1 & 2
\end{array} \right]. Wyznaczymy jej rząd.

W tym celu wykonywać będziemy operacje elementarne na wierszach, zmierzając do uzyskania jak największej liczby różnych wektorów zero-jedynkowych w poszczególnych kolumnach.

\mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 1 \\
2 & 5 & 7 & 2 \\
-1 & 1 & 1 & 2
\end{array} \right]

w_2-w_3 \rightarrow \\
w_3-2w_1 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 1 \\
3 & 4 & 6 & 0 \\
-3 & -3 &-5 & 0
\end{array} \right]

w_2+w_3 \rightarrow \\
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
-3 & -3 &-5 & 0
\end{array} \right]

w_1-2w_2 \rightarrow \\
w_3+3w_2


\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
-3 & 0 &-2 & 0
\end{array} \right]

w_3 \cdot  (-\frac{1}{3}) \rightarrow \\

\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & \frac{2}{3}  & 0
\end{array} \right]

w_1 -w_3 \rightarrow \\

\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 &  \frac{1}{3}  & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & \frac{2}{3}  & 0
\end{array} \right]

Uzyskaliśmy zatem aż trzy

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 3 =
Ostatnio komentowane
ee4
rr • 2021-10-20 19:19:10
xd
Łucja • 2021-10-20 17:24:00
XD
LOL • 2021-10-20 16:21:41
.
kadzionka • 2021-10-20 15:11:25
Dziekuje
MajMos • 2021-10-20 14:36:02