Wektory – geometria analityczna

Wektorem nazywamy parę uporządkowaną, to znaczy taką dwójkę liczb, że możemy co do nich określić, która z nich jest pierwsza, a która druga. Pierwszą składową owej pary uporządkowanej nazywamy pierwszą współrzędną wektora, drugą zaś - drugą współrzędną.

W myśl takiej definicji każdy wektor równoważny jest jednemu punktowi płaszczyzny kartezjańskiej i tak też przeważnie będziemy wektory traktować (tzn. jako punkty płaszczyzny).

 

Wektor równoważny jest także np. ciągowi dwuelementowemu.

Gdybyśmy rozpartywali ciągi trójelementowe wówczas każdemu wektorowi odpowiadałby punkt przestrzeni trójwymiarowej, itd.

 

Geometryczną interpretacją wektora jest także odcinek skierowany - wówczas pierwsza jego współrzędna określa jego odległość między jego początkiem a końcem mierzoną wzdłuż osi x, natomiast druga - odległość między początkiem a końcem mierzoną wzdłuż osi y. Znak plus przy odpowiedniej współrzędnej oznacza, że kierunek wektora jest zgodny z kierunkiem danej osi, natomiast znak minus informuje o kierunku przeciwnym.

v = (x_v,y_v)

 

Jeśli przyjąć, że wektor v rozpięty jest pomiędzy punktami A = (x_A,y_A)B = (x_B,y_B) to jego współrzędne mogą być wyznaczone jako różnica tych dwóch punktówv = (x_B-x_A,y_B-y_A).

W takim przypadku wektor jest z punktu A do punktu B (równoważnie: o początku w punkcie A i końcu w punkcie B). Gdyby początek wektora był w punkcie B a koniec w punkcie A wówczas jego współrzędne obliczylibyśmy jako v = (x_A-x_B,y_A-y_B).

Ogólna zasada jest taka, by od współrzędnych końca wektora odejmować współrzędne jego początku.

 

Przykład:

Podać współrzędne wektora v o początku w punkcie A = (4,6) i końcu w punkcie B =(-2,-1).

Policzmy v = (2-4,5-6) = (-2,-1).

I rzeczywiście, koniec wektora jest oddalony od jego początku o 2 jednostki mierząc po osi X1 jednostkę mierzoną wzdłuż osi Y. Znak minus oznacza, że wektor jest skierowany odwrotnie niż obie osie.

 

Jeśli przyjąć, że początkiem wektora traktowanego jako skierowanego odcinka jest początek układu współrzędnych (tj. punkt (0,0)) to charakteryzacja punktowa i odcinkowa wektora będą równoważne (tzn. każdy punkt układu współrzędnych traktować będziemy jako koniec wektora zaczepionego w początku układu współrzędnych).

Dla wektora v zdefiniować możemy jego długość jako pierwiastek z sumy kwadratów jego współrzędnych, zupełnie tak samo jak dla zwykłych odcinków. Jeśli v = (x_v,y_v) to długość v (ozn. jako ||v||) wynosi || v || =  \sqrt{x_v^2+y_v^2} . Długość wektora bywa także nazywana jego modułem, normą oraz wartością.

 

Przykład:

Niech v = (3,4).

Mamy wtedy ||v|| =  \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} =5.

Zauważmy też, że taka interpretacja długości wektora jest zgodna z twierdzeniem Pitagorasa.

 

Zadanie:

Podać współrzędne wektora o początku w punkcie (1,2) i końcu w (-3,2) a następnie obliczyć jego współrzędne.

 

Odpowiedzi:

v = (-4,0), ||v|| = 4.

Polecamy również:

Komentarze (0)
Wynik działania 3 + 2 =
Ostatnio komentowane
Czyli,powiedzenie Polak Węgier dwa bratanki,nie jak się nie odnoszą względem pochodzen...
• 2022-06-16 19:03:58
ekstra
• 2022-06-18 17:12:40
ok
• 2022-06-08 15:52:28
dzięks
• 2022-06-06 19:26:13
Ale proste
• 2022-06-06 14:23:48