Mnożenie wektora przez liczbę sprowadza się do pomnożenia każdej jego współrzędnej przez tą liczbę.
Jeśli \(v=(x_v,y_v)\) i \(a \in R\), to \(av = (ax_v,ay_v)\).
Mnożenie wektora przez liczbę nazywane bywa (zwłaszcza przez fizyków) mnożeniem wektora przez skalar (w istocie, mnożenie wektora przez liczbę utożsamiać możemy z jego skalowaniem).
Graficzna interpretacja mnożenia wektora przez liczbę jest następująca: mnożąc wektor \(v\) przez liczbę rzeczywistą \(a\) otrzymujemy nowy wektor \(u\), zaczepiony w tym samym punkcie co wektor \(v\) (formalnie: o początku w tym samym punkcie) i o module (a zatem długości) równym \(a || v ||\).
Ponadto, jeśli liczba \(a\) była ujemna, zmienia się także „zwrot” wektora, to znaczy jest on skierowany w drugą stronę.
Mówiąc zatem wprost, skalowanie wektora jest wydłużaniem (jeśli \(|a| >1\)) lub skracaniem (gdy \(|a|<1\)) wektora, z tym dodatkowym zastrzeżęniem, że jeśli \(a\) było liczbą ujemną oprócz zmiany długości wektora należy go także obrócić.
Przykład:
\(\frac12 \cdot(1,3) = (\frac 12, \frac32)\),
\(-1\cdot(2,8) = (-2,-8)\),
\(4\cdot(5,4)=(20,24)\), itd.
Zadanie:
Znaleźć następujące wektory:
a) \(\frac 1 8 \cdot (2,3)\),
b) \(-\frac 2 5 \cdot (5,3)\),
c) \( \pi \cdot( 2,-5)\).
Odpowiedzi:
a) \((\frac 1 4,\frac 3 8)\),
b) \((-2,-1\frac15)\),
c) \(( 2\pi,-5\pi)\).