Iloczyn skalarny jest „narzędziem”, które umożliwia zdefiniowanie kąta między wektorami.
Jeśli \(v\) i \(u\) są wektorami, a \( \alpha \) kątem między nimi, to \(\cos \alpha = \frac{v\cdot u}{||v||\cdot||u||}\).
Przykład:
Jaki jest kąt między wektorami \(v = ( \sqrt{3} ,1)\) i \(u = (1,0)\)?
Policzmy
\(v\cdot u = \sqrt{3} \cdot 1 + 1 \cdot 0 = \sqrt{3} \)
\(||v|| = \sqrt{ \sqrt{3}^2 +1^2 } = \sqrt{4} =2\)
\(||u|| = \sqrt{1^2 + 0^2} =1\)
Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy\(\cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2\cdot1} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \), zatem \( \alpha = 30^\circ\)
Uwaga: Zauważmy, że dwa wektory są równoległe kiedy współrzędne jednego z nich są wielokrotnościami współrzędnych drugiego oraz są prostopadłe kiedy ich iloczyn skalarny jest równy 0.
Zadanie:
Znaleźć kąt między wektorami \(v = ( \sqrt{3} ,1)\), \(u=(0,1)\).
Odpowiedzi:
\(60^\circ\).