Macierz jednostkowa to jedna z najważniejszych macierzy. Jej znaczenie w odniesieniu do macierzy jest takie jak znaczenie liczby \(1\) w zbiorze liczb rzeczywistych.
Macierzą jednostkową nazywamy macierz kwadratową, której elementami są zera oraz jedynki, w taki sposób, że zera znajdują się wszędzie poza główną przekątną a jedynki - na głównej przekątnej.
Oznaczamy ją \(\mathbf{I_n}\), gdzie \(n\) oznacza wymiar macierzy.
Formalnie można napisać, że jest to macierz \([a_{ij}]= \begin{cases} 1 \Leftrightarrow i=j \\ 0 \Leftrightarrow i \neq j\end{cases} \).
Przykłady:
\(\mathbf{I_1} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 \end{array} \right]\) - macierz jednostkowa stopnia pierwszego.
\(\mathbf{I_2} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]\) - macierz jednostkowa stopnia drugiego.
\(\mathbf{I_3} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\) - macierz jednostkowa stopnia trzeciego.
\(\mathbf{I_n} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & \cdots&0\\ 0 & 1 &0 & \cdots&0\\ 0 & 0 &1 & \dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ldots&\ldots \\ 0&0&\cdots&0& 1 \end{array} \right]\) - macierz jednostkowa stopnia \(n\).
Znaczenie macierzy jednostkowej jest następujące:
1) Jest ona obustronnym elementem neutralnym mnożenia macierzy, tj.
\(\mathbf{I \circ A=A\circ I=A}\).
2) Jej wyznacznik jest równy \(1\), tj.
\(\det \mathbf{I}=1\).
3) Umożliwia wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą operacji elementranych.