Zbiór liczb całkowitych jest rozszerzeniem zbioru liczb naturalnych o liczby ujemne. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem \(\mathbb{Z}\) od niemieckiego rzeczownika Zahlen - liczby.
\(\mathbb{Z} = \left \{...,-4, -3,-2,-1,0, 1, 2, 3, 4, ... \right \}\) - zbiór liczb całkowitych, nieograniczony zarówno z lewej jak i z prawej strony.
Przykład:
2, 6, 2014, 1940, 1000001 - wszystkie liczby naturalny są jednocześnie liczbami całkowitymi.
-2, -6, -2014, -1940, -1000001 - zbiór liczb całkowitych zawiera liczby przeciwne do liczb naturalnych.
\( \frac{1}{2} \), \( \sqrt[3]{2} \), \( \pi \) - te liczby nie są liczbami całkowitymi.
Liczby naturalne mogliśmy dodawać i mnożyć (a także potęgować), mając gwarancję, że efekt działania będzie liczbą naturalną. W zbiorze liczb całkowitych te dwa działania również dają nam taką gwarancję. W zbiorze liczb naturalnych dzielenie i wyciąganie pierwiastków nie było „dozwolone” - i podobnie sytuacja wygląda w zbiorze liczb całkowitych.
Jedyną różnicą jest odejmowanie - jeśli od jednej liczby całkowitej odejmiemy drugą, wynik odejmowania także będzie liczbą całkowitą. W szczególności, odejmowanie liczb całkowitych możemy rozumieć jako dodawanie liczb naturalnych i liczb do nich przeciwnych (ujemnych).
Przykład:
500 - 600 = -100 - liczba ujemna jest liczbą całkowitą.
4 - 6 = 4 + (-6) = -2 - odejmowanie liczb całkowitych można zamienić na dodawanie liczb naturalnych i liczb ujemnych.
Podobnie jak w przypadku zbioru liczb naturalnych „dozwolone” jest porównywanie liczb ze sobą. Dla każdych dwóch liczb całkowitych zachodzi jedna z następujących zależności:
\(a < b\), \(a = b\) lub \(a > b\) - tj., każde dwie liczby całkowite, które nie są sobie równe, da się ustawić w porządku rosnącym.
Przykład:
-5 i 3 - są to liczby całkowite, które nie są sobie równe, możemy je zatem poszeregować: -5 < 3.
Zadanie:
Które z podanych liczb są liczbami całowitymi:
a) 39,7,
b) -23,
c) \( \frac{1}{2} \),
d) 8 + 25.
Odpowiedzi:
a) nie,
b) tak,
c) nie,
d) tak.