Jednym z podstawowych zastosowań rachunku różniczkowego są tzw. zadania optymalizacyjne, a więc zadania polegające na zoptymalizowaniu pewnych wielkości.
Przykład:
Kiedy prostokąt o obwodzie ma największe pole?
Jeśli wprowadzimy oznaczenia jak na poniższym rysunku to pole prostokąta wynosić będzie oraz
, zatem
.
Zauważmy też, że i
.
Chcemy zmaksymalizować pole prostokąta, a więc szukamy maksimum funkcji .
Jakim wzorem wyraża się ? Aby uzyskać tą informację przekształćmy zapisane wyżej zależności:
.
To jest szukana funkcja, przy czym traktujemy tutaj jako zmienną, natomiast
jako parametr (stałą).
Policzmy pochodną:
Stąd , ale jednocześnie
, zatem
.
Zatem spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat o boku
.
Przy rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych trzeba zatem tak przekształcać sformułowane w opraciu o dane zależności by dojść do funkcji, która wyraża optymalizowaną wielkość. Należy przy tym pamiętać o zapisaniu odpowiednich warunków (np. długość boku musi być liczbą dodatnią, itd.). Następnie wyznacza się ekstremum znalezionej funkcji uwzględniając przyjęte wcześniej założenia.
Zadanie:
Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o objętości aby zużyć jak najmniej materiału do jej wytworzenia?
Odpowiedzi:
,