Jednym z podstawowych zastosowań rachunku różniczkowego są tzw. zadania optymalizacyjne, a więc zadania polegające na zoptymalizowaniu pewnych wielkości.
Przykład:
Kiedy prostokąt o obwodzie \(2s\) ma największe pole?
Jeśli wprowadzimy oznaczenia jak na poniższym rysunku to pole prostokąta wynosić będzie \(ab\) oraz \(2s = 2(a+b)\), zatem \(s = a+b\).
Zauważmy też, że i .
Chcemy zmaksymalizować pole prostokąta, a więc szukamy maksimum funkcji \(P\).
Jakim wzorem wyraża się \(P\)? Aby uzyskać tą informację przekształćmy zapisane wyżej zależności:
\(s = a+b \Rightarrow b = s-a\)
\(P = ab \Rightarrow P=a(s-a)=as-a^2\).
To jest szukana funkcja, przy czym \(a\) traktujemy tutaj jako zmienną, natomiast \(s\) jako parametr (stałą).
Policzmy pochodną:
\(P' = -2a + s = 0\)
Stąd \(a = \frac2s\), ale jednocześnie \(s = a +b\), zatem \(a = b\).
Zatem spośród prostokątów o danym obwodzie \(2s\) największe pole ma kwadrat o boku \(a\).
Przy rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych trzeba zatem tak przekształcać sformułowane w opraciu o dane zależności by dojść do funkcji, która wyraża optymalizowaną wielkość. Należy przy tym pamiętać o zapisaniu odpowiednich warunków (np. długość boku musi być liczbą dodatnią, itd.). Następnie wyznacza się ekstremum znalezionej funkcji uwzględniając przyjęte wcześniej założenia.
Zadanie:
Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o objętości \(0,5 l\) aby zużyć jak najmniej materiału do jej wytworzenia?
Odpowiedzi:
\(r = \sqrt[3]{\frac1{4 \pi}} dm\), \(H = \sqrt[3]{\frac2{ \pi}} dm\)