Zadania optymalizacyjne – przykłady

Jednym z podstawowych zastosowań rachunku różniczkowego są tzw. zadania optymalizacyjne, a więc zadania polegające na zoptymalizowaniu pewnych wielkości.

 

Przykład:

Kiedy prostokąt o obwodzie 2s ma największe pole?

Jeśli wprowadzimy oznaczenia jak na poniższym rysunku to pole prostokąta wynosić będzie ab oraz 2s = 2(a+b), zatem s = a+b.

 

Zauważmy też, że 0<a<s i 0<b<s.

Chcemy zmaksymalizować pole prostokąta, a więc szukamy maksimum funkcji P.

Jakim wzorem wyraża się P? Aby uzyskać tą informację przekształćmy zapisane wyżej zależności:

s = a+b \Rightarrow b = s-a

P = ab  \Rightarrow P=a(s-a)=as-a^2.

To jest szukana funkcja, przy czym a traktujemy tutaj jako zmienną, natomiast s jako parametr (stałą).

Policzmy pochodną:

P' = -2a + s = 0

Stąd a = \frac2s, ale jednocześnie s = a +b, zatem a = b.

Zatem spośród prostokątów o danym obwodzie 2s największe pole ma kwadrat o boku a.

Przy rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych trzeba zatem tak przekształcać sformułowane w opraciu o dane zależności by dojść do funkcji, która wyraża optymalizowaną wielkość. Należy przy tym pamiętać o zapisaniu odpowiednich warunków (np. długość boku musi być liczbą dodatnią, itd.). Następnie wyznacza się ekstremum znalezionej funkcji uwzględniając przyjęte wcześniej założenia.

 

Zadanie:

Jakie wymiary powinna mieć puszka w kształcie walca o objętości 0,5 l aby zużyć jak najmniej materiału do jej wytworzenia?

 

Odpowiedzi:

r =  \sqrt[3]{\frac1{4 \pi}} dm, H =  \sqrt[3]{\frac2{ \pi}} dm

 

Polecamy również:

Komentarze (1)
Wynik działania 5 + 4 =
sugon
2022-04-21 18:41:43
Powinno być "stąd a = 1/2s" lub "a = s/2" (aktualnie jest zapisane jako 2/s). Reszta obliczeń jest poprawna.
Ostatnio komentowane
I cóż miał rację Marek Aureliusz który chciał podbić Germanię uderzeniem przez Mor...
• 2024-07-06 19:45:33
O tym, że zmienne w czasie pole elektryczne jest źródłem pola magnetycznego, napisał ...
• 2024-06-27 07:25:33
ok
• 2024-06-05 13:52:17
nadal nie umiem tego napisać
• 2024-06-04 10:48:42
Mógłby być jeszcze do tego cały utwór napisany.
• 2024-06-03 19:41:43