Równania różniczkowe są zaawansowanym zagadnieniem rachunku różniczkowego. W dużym uproszczeniu można powiedzieć, że opisują wszelkie zagadnienia związane ze zmianą.
Formalnie równanie różniczkowe to równanie zawierające funkcję \(y\) jednej lub wielu zmiennych, jej pochodne (w przypadku funkcji wielu zmiennych pochodne cząstkowe) oraz zmienną niezależną (lub kilka zmiennych niezależnych w przypadku funkcji wielu zmiennych).
Równanie różniczkowe, w którym funkcja niewiadoma jest funkcją jednej zmiennej nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym.
Równanie różniczkowe, w którym funkcja niewiadoma jest funkcją wielu zmiennych, zawierające pochodne cząstkowe tej funkcji, nazywamy równaniem różniczkowym cząstkowym.
Rząd najwyższej pochodnej poszukiwanej funkcji występującej w równaniu różniczkowym nazywa się rzędem równania różniczkowego.
Przykłady:
Równanie \(y^'+2xy=0\) jest równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu.
Równanie \(x+\sin y^'=y^{''}\) jest równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu.
Równania różniczkowe rozwiązuje się na ogół całkując pewne funkcje, więc rozwiązanie zawiera stałą całkowania. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego (inna nazwa: całką ogólną równania różniczkowego) pierwszego rzędu jest więc rodziną funkcji zależną od stałej.
Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) nazywamy dowolną funkcję będącą rozwiązaniem danego równania. Najczęściej całkę szczególną możemy otrzymać z rozwiązania ogólnego.
Wykres funkcji będącej rozwiązaniem danego równania różniczkowego nazywamy krzywą całkową równania różniczkowego.
Przykład:
Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego \(y^'=x\) jest każda funkcji postaci \(y= \frac{x^2}{2} +c\), dla każdego \(c \in \mathbb{R}\).
Krzywą całkową równania różniczkowego jest wykres każdej z tych funkcji.
Rozwiązaniem szczególnym jest np. \(y= \frac{x^2}{2} +5\) lub \(y= \frac{x^2}{2} + \sqrt{ \pi } \).
Problem znalezienia rozwiązania równania różniczkowego spełniającego pewne warunki (zwane warunkami początkowymi) nazywamy zagadnieniem Cauchy'ego. Dla równania różniczkowego pierwszego rzędu warunek początkowy polega na tym, aby krzywa całkowa przechodziła przez zadany punkt płaszczyzny. Dla równań różniczkowych drugiego rzędu rząda się ponadto, aby prosta przychodząca przez dany punkt była styczna do poszukiwanej krzywej całkowej.
Przykład:
Rozwiążemy następujące równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu:
\((1+e^x)yy^'=e^x\)
Na początku przekształćmy równanie tak, aby po lewej stronie znalazły się tylko wyrażenia opisujące funkcję \(y\), natomiast po prawej stronie - te ze zmienną \(x\).
\(yy^'= \frac{ e^x}{(1+e^x)}\)
Zauważmy teraz, że \(y'\) to to samo co \( \frac{dy}{dx} \), a zatem mamy
\(y \frac{dy}{dx} = \frac{ e^x}{(1+e^x)}\)
\(y dy = \frac{ e^x}{(1+e^x)}dx\)
Nakładając teraz całkę na obie strony równania otrzymamy
\( \int_{}^{} y dy = \int_{}^{} \frac{ e^x}{(1+e^x)}dx\)
Licząc całki z obu stron równania otrzymujemy z kolei
\( \frac{y^2}{2} = \ln (1+e^x)+c\)
Takie jest rozwiązanie ogólne równania różniczkowego.
Znajdziemy teraz zagadnienie Cauchy'ego dla tego równania, przy warunku początkowym \(y(0)=1\):
\( \frac{1^2}{2} = \ln (1+e^0)+c\)
\( \frac{1}{2} = \ln (2)+c\)
A zatem \(c= \frac{1}{2} - \ln (2)\).
Podstawiając tak wyznaczoną stałą \(c\) do rozwiązania ogólnego otrzymujemy:
\(y^2 = 2(\ln (1+e^x)+c)\)
\(y^2 = 2(\ln (1+e^x)+ \frac{1}{2}- \ln 2 )\)
Co po przekształceniu ma postać
\(y^2 = 1 + 2\ln \frac{(1+e^x)}{2}\)
A zatem ostatecznie
\(y = \pm \sqrt{1 + 2\ln \frac{(1+e^x)}{2}} \).