Funkcje wielu zmiennych są rozszerzeniem znanego ze szkoły pojęcia funkcji na obiekty o większej liczbie współrzędnych.
Definicja:
Mówimy, że na jest określona funkcja
zmiennych
jeżeli każdemu punktowi
jest przyporządkowana pewna liczba rzeczywista. Zbiór
to dziedzina funkcji.
Jeśli lub
mówimy odpowiednio o funkcji dwóch lub trzech zmiennych. Zamiast pisać
,
,
piszemy po prostu
,
,
.
Niekiedy używamy innych oznaczeń, jeśli wynika to akurat z kontekstu.
Przykład:
- funkcja dwóch zmiennych, przyporządkowująca argumentom ich iloczyn.
- funkcja trzech zmiennych.
- pole trójkąta jest funkcją dwóch zmiennych - długości jego podstawy oraz wysokości opuszczonej na tą podstawę.
- funkcja stu zmiennych, której wartość jest sumą tych zmiennych.
Przykład:
Niech .
Wyznaczymy jej dziedzinę.
Spełnione muszą być trzy warunki:
1) - liczba pierwiastkowana musi być nieujemna.
2) - mianownik musi być niezerowy.
3) - liczba logarytmowana musi być dodatnia.
Zacznijmy od ostatniego warunku. Iloczyn dwóch liczb jest liczbą dodatnią wtedy, kiedy obie są dodatnie lub obie są ujemne. Możemy to zapisać jako
w pierwszym przypadku lub
w drugim, a zatem interesują nas wyłącznie pierwsza i trzecia ćwiartka układu współrzędnych.
Warunek 2) po przekształceniu ma postać zatem w połączeniu z warunkiem 1) dostajemy
.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy tą nierówność przedstawić w postaci , co korzystając z podobnego rozumowania co w warunku 3) prowadzi nas do dwóch przypadków:
lub
, które po przekształceniu mają postać:
lub
.
Uwzględniając tylko pierwszą i trzecią ćwiartkę, dostajemy dziedzinę jak na poniższym rysunku: