Funkcje wielu zmiennych są rozszerzeniem znanego ze szkoły pojęcia funkcji na obiekty o większej liczbie współrzędnych.
Definicja:
Mówimy, że na \(D\) jest określona funkcja \(n\) zmiennych \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) jeżeli każdemu punktowi \((x_1,x_2,...,x_n)\in D \subset \mathbb{R}^n\)jest przyporządkowana pewna liczba rzeczywista. Zbiór \(D\) to dziedzina funkcji.
Jeśli \(n=2\) lub \(n=3\) mówimy odpowiednio o funkcji dwóch lub trzech zmiennych. Zamiast pisać \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) piszemy po prostu \(x\), \(y\),\(z\).
Niekiedy używamy innych oznaczeń, jeśli wynika to akurat z kontekstu.
Przykład:
\(f(x,y)=xy\) - funkcja dwóch zmiennych, przyporządkowująca argumentom ich iloczyn.
\(f(x,y,z)= \frac{\sin x}{\cos y}+\frac{\sin y}{\cos z}+\frac{\sin z}{\cos x}\) - funkcja trzech zmiennych.
\(f(a,h) = \frac{1}{2} ah\) - pole trójkąta jest funkcją dwóch zmiennych - długości jego podstawy oraz wysokości opuszczonej na tą podstawę.
\(f(x_1,x_2,x_3,...,x_{100})=x_1+x_2+x_3+...+x_{100}\) - funkcja stu zmiennych, której wartość jest sumą tych zmiennych.
Przykład:
Niech \(f(x,y)= \frac{\ln xy}{ \sqrt{x^2-y^2} } \).
Wyznaczymy jej dziedzinę.
Spełnione muszą być trzy warunki:
1) \({x^2-y^2} \ge 0\) - liczba pierwiastkowana musi być nieujemna.
2) \( \sqrt{x^2-y^2} \neq 0\) - mianownik musi być niezerowy.
3) \(xy>0\) - liczba logarytmowana musi być dodatnia.
Zacznijmy od ostatniego warunku. Iloczyn dwóch liczb jest liczbą dodatnią wtedy, kiedy obie są dodatnie lub obie są ujemne. Możemy to zapisać jako
\( \begin{cases} x>0\\ y>0\end{cases} \) w pierwszym przypadku lub \( \begin{cases} x<0\\ y<0\end{cases} \) w drugim, a zatem interesują nas wyłącznie pierwsza i trzecia ćwiartka układu współrzędnych.
Warunek 2) po przekształceniu ma postać \({x^2-y^2} \neq 0\) zatem w połączeniu z warunkiem 1) dostajemy \({x^2-y^2} > 0\) .
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy tą nierówność przedstawić w postaci \((x-y)(x+y)>0\), co korzystając z podobnego rozumowania co w warunku 3) prowadzi nas do dwóch przypadków:
\( \begin{cases} x-y>0\\ x+y>0\end{cases} \) lub \( \begin{cases} x-y<0\\ x+y<0\end{cases} \), które po przekształceniu mają postać:
\( \begin{cases} y<x\\ y>-x\end{cases} \) lub \( \begin{cases} y>x\\ y<-x\end{cases} \).
Uwzględniając tylko pierwszą i trzecią ćwiartkę, dostajemy dziedzinę jak na poniższym rysunku:
