Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych są rozszerzeniem znanego ze szkoły pojęcia funkcji na obiekty o większej liczbie współrzędnych.

Definicja:

Mówimy, że na $D$ jest określona funkcja $n$ zmiennych $f(x_1,x_2,...,x_n)$ jeżeli każdemu punktowi $(x_1,x_2,...,x_n)\in D \subset \mathbb{R}^n$ jest przyporządkowana pewna liczba rzeczywista. Zbiór $D$ to dziedzina funkcji.

Jeśli $n=2$ lub $n=3$ mówimy odpowiednio o funkcji dwóch lub trzech zmiennych. Zamiast pisać $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ piszemy po prostu $x$ , $y$ , $z$ .

Niekiedy używamy innych oznaczeń, jeśli wynika to akurat z kontekstu.

Przykład:

$f(x,y)=xy$ - funkcja dwóch zmiennych, przyporządkowująca argumentom ich iloczyn.

$f(x,y,z)= \frac{\sin x}{\cos y}+\frac{\sin y}{\cos z}+\frac{\sin z}{\cos x}$ - funkcja trzech zmiennych.

$f(a,h) = \frac{1}{2} ah$ - pole trójkąta jest funkcją dwóch zmiennych - długości jego podstawy oraz wysokości opuszczonej na tą podstawę.

$f(x_1,x_2,x_3,...,x_{100})=x_1+x_2+x_3+...+x_{100}$ - funkcja stu zmiennych, której wartość jest sumą tych zmiennych.

Przykład:

Niech $f(x,y)= \frac{\ln xy}{ \sqrt{x^2-y^2} }$ .

Wyznaczymy jej dziedzinę.

Spełnione muszą być trzy warunki:

1) ${x^2-y^2} \ge 0$ - liczba pierwiastkowana musi być nieujemna.

2) $\sqrt{x^2-y^2} \neq 0$ - mianownik musi być niezerowy.

3) $xy>0$ - liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Zacznijmy od ostatniego warunku. Iloczyn dwóch liczb jest liczbą dodatnią wtedy, kiedy obie są dodatnie lub obie są ujemne. Możemy to zapisać jako

$\begin{cases} x>0\\ y>0\end{cases}$ w pierwszym przypadku lub $\begin{cases} x<0\\ y<0\end{cases}$ w drugim, a zatem interesują nas wyłącznie pierwsza i trzecia ćwiartka układu współrzędnych.

Funkcje wielu zmiennych

Warunek 2) po przekształceniu ma postać ${x^2-y^2} \neq 0$ zatem w połączeniu z warunkiem 1) dostajemy ${x^2-y^2} > 0$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy tą nierówność przedstawić w postaci $(x-y)(x+y)>0$ , co korzystając z podobnego rozumowania co w warunku 3) prowadzi nas do dwóch przypadków:

$\begin{cases} x-y>0\\ x+y>0\end{cases}$ lub $\begin{cases} x-y<0\\ x+y<0\end{cases}$ , które po przekształceniu mają postać:

$\begin{cases} y<x\\ y>-x\end{cases}$ lub $\begin{cases} y>x\\ y<-x\end{cases}$ .

Uwzględniając tylko pierwszą i trzecią ćwiartkę, dostajemy dziedzinę jak na poniższym rysunku:

Funkcje wielu zmiennych

Polecamy również:

Pochodne cząstkowe

Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji wielu zmiennych możemy zdefiniować pochodne... Więcej »
Różniczka zupełna

W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną... Więcej »

Komentarze (0)

Funkcje wielu zmiennych

Definicja:

Przykład:

Przykład:

Polecamy również:

Zobacz również

Pochodne cząstkowe

Różniczka zupełna

Losowe zadania

Pęcherz pławny

Systemy korzeniowe

Cechy podzielności liczb

Wspólne cechy mięczaków

Charakterystyka pierścienic