Na stronie używamy cookies. Korzystanie z witryny oznacza zgodę na ich wykorzystywanie. Szczegóły znajdziesz w Regulaminie.
ZAMKNIJ X

Funkcje wielu zmiennych

Ostatnio komentowane
kox
marek • 2019-12-07 11:29:34
2222
22 • 2019-12-07 07:47:26
pozdrawiam ciepło z wigilii
kluska a • 2019-12-06 14:12:20
kjj
n • 2019-12-06 12:44:28
Dzk
Serek • 2019-12-05 21:29:59
Autor:
Drukuj
Drukuj
Rozmiar
AAA

Funkcje wielu zmiennych są rozszerzeniem znanego ze szkoły pojęcia funkcji na obiekty o większej liczbie współrzędnych.

Definicja:

Mówimy, że na D jest określona funkcja n zmiennych f(x_1,x_2,...,x_n) jeżeli każdemu punktowi (x_1,x_2,...,x_n)\in D \subset \mathbb{R}^njest przyporządkowana pewna liczba rzeczywista. Zbiór D to dziedzina funkcji.

Jeśli n=2 lub n=3 mówimy odpowiednio o funkcji dwóch lub trzech zmiennych. Zamiast pisać x_1, x_2, x_3 piszemy po prostu x, y,z.

Niekiedy używamy innych oznaczeń, jeśli wynika to akurat z kontekstu.

Przykład:

f(x,y)=xy - funkcja dwóch zmiennych, przyporządkowująca argumentom ich iloczyn.

f(x,y,z)= \frac{\sin x}{\cos y}+\frac{\sin y}{\cos z}+\frac{\sin z}{\cos x} - funkcja trzech zmiennych.

f(a,h) = \frac{1}{2} ah - pole trójkąta jest funkcją dwóch zmiennych - długości jego podstawy oraz wysokości opuszczonej na tą podstawę.

f(x_1,x_2,x_3,...,x_{100})=x_1+x_2+x_3+...+x_{100} - funkcja stu zmiennych, której wartość jest sumą tych zmiennych.

Przykład:

Niech f(x,y)= \frac{\ln xy}{ \sqrt{x^2-y^2} } .

Wyznaczymy jej dziedzinę.

Spełnione muszą być trzy warunki:

1) {x^2-y^2} \ge 0 - liczba pierwiastkowana musi być nieujemna.

2)  \sqrt{x^2-y^2}  \neq 0 - mianownik musi być niezerowy.

3) xy>0 - liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Zacznijmy od ostatniego warunku. Iloczyn dwóch liczb jest liczbą dodatnią wtedy, kiedy obie są dodatnie lub obie są ujemne. Możemy to zapisać jako

 \begin{cases} x>0\\ y>0\end{cases} w pierwszym przypadku lub  \begin{cases} x<0\\ y<0\end{cases} w drugim, a zatem interesują nas wyłącznie pierwsza i trzecia ćwiartka układu współrzędnych.

Funkcje wielu zmiennych

Warunek 2) po przekształceniu ma postać {x^2-y^2}  \neq 0 zatem w połączeniu z warunkiem 1) dostajemy {x^2-y^2} > 0 .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy tą nierówność przedstawić w postaci (x-y)(x+y)>0, co korzystając z podobnego rozumowania co w warunku 3) prowadzi nas do dwóch przypadków:

 \begin{cases} x-y>0\\ x+y>0\end{cases} lub  \begin{cases} x-y<0\\ x+y<0\end{cases} , które po przekształceniu mają postać:

 \begin{cases} y<x\\ y>-x\end{cases} lub  \begin{cases} y>x\\ y<-x\end{cases} .

Uwzględniając tylko pierwszą i trzecią ćwiartkę, dostajemy dziedzinę jak na poniższym rysunku:

Funkcje wielu zmiennych

Polecamy również:

  • Pochodne cząstkowe

    Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji wielu zmiennych możemy zdefiniować pochodne... Więcej »

  • Różniczka zupełna

    W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną... Więcej »

Komentarze (0)
1 + 4 =