Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych są rozszerzeniem znanego ze szkoły pojęcia funkcji na obiekty o większej liczbie współrzędnych.

Definicja:

Mówimy, że na \(D\) jest określona funkcja \(n\) zmiennych \(f(x_1,x_2,...,x_n)\) jeżeli każdemu punktowi \((x_1,x_2,...,x_n)\in D \subset \mathbb{R}^n\)jest przyporządkowana pewna liczba rzeczywista. Zbiór \(D\) to dziedzina funkcji.

Jeśli \(n=2\) lub \(n=3\) mówimy odpowiednio o funkcji dwóch lub trzech zmiennych. Zamiast pisać \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) piszemy po prostu \(x\), \(y\),\(z\).

Niekiedy używamy innych oznaczeń, jeśli wynika to akurat z kontekstu.

Przykład:

\(f(x,y)=xy\) - funkcja dwóch zmiennych, przyporządkowująca argumentom ich iloczyn.

\(f(x,y,z)= \frac{\sin x}{\cos y}+\frac{\sin y}{\cos z}+\frac{\sin z}{\cos x}\) - funkcja trzech zmiennych.

\(f(a,h) = \frac{1}{2} ah\) - pole trójkąta jest funkcją dwóch zmiennych - długości jego podstawy oraz wysokości opuszczonej na tą podstawę.

\(f(x_1,x_2,x_3,...,x_{100})=x_1+x_2+x_3+...+x_{100}\) - funkcja stu zmiennych, której wartość jest sumą tych zmiennych.

Przykład:

Niech \(f(x,y)= \frac{\ln xy}{ \sqrt{x^2-y^2} } \).

Wyznaczymy jej dziedzinę.

Spełnione muszą być trzy warunki:

1) \({x^2-y^2} \ge 0\) - liczba pierwiastkowana musi być nieujemna.

2) \( \sqrt{x^2-y^2} \neq 0\) - mianownik musi być niezerowy.

3) \(xy>0\) - liczba logarytmowana musi być dodatnia.

Zacznijmy od ostatniego warunku. Iloczyn dwóch liczb jest liczbą dodatnią wtedy, kiedy obie są dodatnie lub obie są ujemne. Możemy to zapisać jako

\( \begin{cases} x>0\\ y>0\end{cases} \) w pierwszym przypadku lub \( \begin{cases} x<0\\ y<0\end{cases} \) w drugim, a zatem interesują nas wyłącznie pierwsza i trzecia ćwiartka układu współrzędnych.

Funkcje wielu zmiennych

Warunek 2) po przekształceniu ma postać \({x^2-y^2} \neq 0\) zatem w połączeniu z warunkiem 1) dostajemy \({x^2-y^2} > 0\) .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy tą nierówność przedstawić w postaci \((x-y)(x+y)>0\), co korzystając z podobnego rozumowania co w warunku 3) prowadzi nas do dwóch przypadków:

\( \begin{cases} x-y>0\\ x+y>0\end{cases} \) lub \( \begin{cases} x-y<0\\ x+y<0\end{cases} \), które po przekształceniu mają postać:

\( \begin{cases} y<x\\ y>-x\end{cases} \) lub \( \begin{cases} y>x\\ y<-x\end{cases} \).

Uwzględniając tylko pierwszą i trzecią ćwiartkę, dostajemy dziedzinę jak na poniższym rysunku:

Funkcje wielu zmiennych

Polecamy również:

  • Pochodne cząstkowe

    Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, dla funkcji wielu zmiennych możemy zdefiniować pochodne... Więcej »

  • Różniczka zupełna

    W przypadku funkcji jednej zmiennej definiowaliśmy pojęcie różniczki funkcji. W przypadku funkcji wielu zmiennych, możemy zdefiniować tzw. różniczkę zupełną... Więcej »

Komentarze (0)
Wynik działania 1 + 3 =
Ostatnio komentowane
Ta książka jest wyjątkowa , przyjemnie się czyta to streszczenie
• 2024-11-11 09:32:23
na czym polegają te fundacje i stowarzyszenia? brakuje tu wyjaśnienia i jakiegoś przyk�...
• 2024-11-05 17:38:04
Głupota w tekście! Janusz i Agnieszka się nie związali, bo byli bardzo bliskim kuzynos...
• 2024-10-27 17:40:49
Super
• 2024-10-21 17:09:20
Bardzo trudne.
• 2024-10-21 13:31:17