Wykazywanie równości, używając wzorów skróconego mnożenia

Wykaż, że prawdziwe są następujące równości

a) \sqrt[3]{14\sqrt[]{2}+20}-\sqrt[]{2}=2

b)\sqrt[3]{26-15\sqrt[]{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt[]{3}}=4

Skorzystaj z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia.

Liceum Matematyka

Odpowiedź eSzkola.pl

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl
29.01.2020 20:51

a)

 \sqrt[3]{20+14\sqrt[]{2}}-\sqrt[]{2}=2

 

\sqrt[3]{20+14\sqrt[]{2}}=2+\sqrt[]{2}

 

Podnosimy obie strony równości do trzeciej potęgi i otrzymujemy

20+14\sqrt[]{2}=(2+\sqrt[]{2})^3

Korzystamy ze wzoru na sześcian sumy (a + b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 + b3.

20+14\sqrt[]{2}=8 + 12\sqrt[]{2}+12+2\sqrt[]{2}

Po dodaniu składników po prawej stronie, zauważamy, że obie strony równania są takie same, co należało pokazać.


b)

\sqrt[3]{26-15\sqrt[]{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt[]{3}}=4

Rozpisujemy sumy pod pierwiastkami, tak aby otrzymać rozwinięcie wzorów na sześcian sumy i różnicy  (a - b)3 = a3 - 3a2b -3ab2 + b3.

\sqrt[3]{8-12\sqrt[]{3}+18-3\sqrt[]{3}} + \sqrt[3]{8+12\sqrt[]{3}+18+3\sqrt[]{3}}=4

\sqrt[3]{(2-\sqrt[]{3})^3} + \sqrt[3]{(2+\sqrt[]{3})^3}=4

2 - \sqrt[]{3} + 2 + \sqrt[]{3} = 4

Lewa i prawa strona równania są sobie równe, zatem początkowa równość jest prawdziwa.

Dzięki! 0
Znasz odpowiedź na to pytanie?
Wynik działania 5 + 5 =
Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: