Wykazywanie równości, używając wzorów skróconego mnożenia

Wykaż, że prawdziwe są następujące równości

a) $\sqrt[3]{14\sqrt[]{2}+20}-\sqrt[]{2}=2$

b) $\sqrt[3]{26-15\sqrt[]{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt[]{3}}=4$

Skorzystaj z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia.

Liceum Matematyka

Aleksandra Ekspert eSzkola.pl

29.01.2020 20:51

$\sqrt[3]{20+14\sqrt[]{2}}-\sqrt[]{2}=2$

$\sqrt[3]{20+14\sqrt[]{2}}=2+\sqrt[]{2}$

Podnosimy obie strony równości do trzeciej potęgi i otrzymujemy

$20+14\sqrt[]{2}=(2+\sqrt[]{2})^3$

Korzystamy ze wzoru na sześcian sumy (a + b)³ = a³ + 3a²b +3ab² + b³.

$20+14\sqrt[]{2}=8 + 12\sqrt[]{2}+12+2\sqrt[]{2}$

Po dodaniu składników po prawej stronie, zauważamy, że obie strony równania są takie same, co należało pokazać.

$\sqrt[3]{26-15\sqrt[]{3}}+\sqrt[3]{26+15\sqrt[]{3}}=4$

Rozpisujemy sumy pod pierwiastkami, tak aby otrzymać rozwinięcie wzorów na sześcian sumy i różnicy (a - b)³ = a³ - 3a²b -3ab² + b³.

$\sqrt[3]{8-12\sqrt[]{3}+18-3\sqrt[]{3}} + \sqrt[3]{8+12\sqrt[]{3}+18+3\sqrt[]{3}}=4$

$\sqrt[3]{(2-\sqrt[]{3})^3} + \sqrt[3]{(2+\sqrt[]{3})^3}=4$

$2 - \sqrt[]{3} + 2 + \sqrt[]{3} = 4$

Lewa i prawa strona równania są sobie równe, zatem początkowa równość jest prawdziwa.

Dzięki! 0

Znasz odpowiedź na to pytanie?

Wszystkie odpowiedzi (0)

Rozwiąż również: